第1章 专题2 多面体的外接球（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 6 专题 2 多面体的外接球 秒杀秘籍：第一讲 长方体切割体的外接球 设长方体相邻的三条边棱长分别为 a， b， c． 图 1墙角体 图 1鳖臑 图 3挖墙角体 图 4对角线相等的四面体 图 1与图 2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图 3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图 和左视图为直角三角形． 图 4中， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 a b BCAD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB                                    , abcabcabcV BCDA 3 14 6 1  ． 【例 1】在球面上有四个点 P、 A、 B、C .如果 PA、 PB、 PC两两互相垂直，且 aPCPBPA  ,则这 个球的表面积是 ． 【解析】根据题意可得， CBAP 、、、 位于一个棱长为 a的正方体上，所以球为正方体的外接球， aR 2 3  ， 故这个球的表面积为 2 2 2 3 2 344 aaRS          ． 【例 2】在三棱锥 BCDA  中，侧棱 AB、AC、AD两两垂直， ABC 、 ACD 、 ADB 的面积分别为 2 2 、 3 2 、 6 2 ，则三棱锥 BCDA  的外接球的体积为（ ） A． 6 B． 2 6 C．3 6 D． 4 6 【解析】因为 1 322 3 212 2 312 321 2 , 2 , 2 2,2,2 S SSc S SSb S SSaSacSbcSab  ， 1 32 3 21 2 31 222 S SS S SS S SSR  2 6 4 3 4 2 4 1  ，  6 2 6 3 4 3 4 3 3          RV ，故选 A． 【例 3】如图所示，已知球O的面上有四点 A、B、C、D， 2 BCABDABCABABCDA ，，面 , 则球O的体积等于 ． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 7 【解析】易知 DA、 AB、 BC位于一个正方体上，故球O半径为 2 6 2 3  aR ，  6 2 6 3 4 3 4 3 3          RV ． 【例 4】四面体 BCDA  中， 5 CDAB ， 34 BDAC ， 41 BCAD ，则四面体 BCDA  外接球 的表面积为（ ） A． 50 B． 100 C． 150 D． 200 【解析】由题四面体 BCDA  是分别以 a， b， c为长且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、 高分别为 a ， b ， c 的长方体，并且 2522  ba ， 3422  ca ， 4122  cb ，设球半径为 R ，则有 50)2( 2222  cbaR ，∴ 504 2 R ，∴球的表面积为  504 2  RS ．故选 A． 秒杀秘籍：第二讲 三棱柱的切割体的外接球  图 1立着放的模型 图 2躺着放的模型 图 1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非 直角三角形，将重垂线长度设为 h，底面三角形外接圆半径设为 r， A ar sin 2  可以求出，则 2 2 2       hrR ； 图 2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面， 2 2 2       hrR ． 【例 5】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在 ABC 中， 3AB ，  60ACB ，  90BCD ， CDAB  ， 22CD ，则该球的体积为 ． 【解析】此图可以理解为躺着的三棱柱，以 ABC 所在平面为底面，则由正弦定理得截面圆的半径为 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 8 1 60sin 3 2 1   r ，依题意得 CD 平面 ABC，故 22 CDh ，则球的半径为 3 2 2 2       hrR ，所以 球的体积为    343 3 4 3  ． 【例 6】已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A． 8 B． 16 C． 32 D． 64 【解析】此图可以理解