第1章 专题3 多面体的内切球（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 15 专题 3 多面体内切球 秒杀秘籍：第一讲 等体积法求内切球的半径 题设：正三棱锥求内切球半径（如图 1所示） 第一步、先画出内切球的截面图如左图， E、H 分别为两个三角形的外心． 第二步、求 BDDH 3 1  , rPHPO  ， PD为侧面 PAC 的高． 第三步、由 POE 相似于 PDH ，建立等式：  PD PO DH OE 解出 r 正四面体（棱长为 a）的外接球半径 R与内切球半径 r 之比为 1:3: rR ． 外接球半径： aR 4 6  ，内切球半径： ar 12 6  正三棱锥的外接球与内切球：外接球与内切球球心在同一条高上，但不重合． 图 1 图 2 图 3 题设：正四棱锥求内切球半径（如图 2所示） 第一步、先画出内切球的截面图如左图， P，O，H 三点共线． 第二步、求 BCHF 2 1  , rPHPO  ， PF 为侧面 PCD 的高． 第三步、由 POG 相似于 PFH ，建立等式：  PF PO HF OG 解出 r ． 题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图 3所示） 第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积． 第二步、设内切球半径为 r，建立等式： rSSSSVVVVVV PBCPACPABABCABCPPBCOPACOPABOABCOABCP   )(3 1 ． 第三步、解出 PBCPACPABABC ABCP SSSS Vr     3 ． 【例 1】已知正四面体 BCDA  ， H 为底面的中心，O为外接球的球心，设棱长为 a，外接球半径为 R， 内切球半径为 r ，求 R． 【解析】易知 aAHrR 3 6  ，由等积法得： DABOBCDOABCOACDOBCDA VVVVV   所以： BCDBCD SrSh   3 14 3 1 故 hr 4 1  , hR 4 3  所以 aR 4 6  . 【例 2】（2013•江苏）一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 16  6.33.4.3. DCBA 【解析】将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接．因为正方体的对角线 就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线．所以，设正方体的棱长为 a，则有 22 a ， 1a ， 332  aR ， 2 3 R ， 3球S ．故选 A． 【例 3】正三棱锥 ABCS  ，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少? 【解析】由于底面边长大于侧棱，故外接球如图所示， 'O 为内切球球心 33 3 3 BE ， 1)3(2 2222  BESBh ，故 2)()1( 222  RRBER 4 321 3 ''''        ABCSAB ABC SABOCSAOBCSOABCOABCS SS SrVVVVV ． $