第1章 专题5 线面平行与面面平行解答题（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 19 专题 5 线面平行与面面平行解答题 秒杀秘籍：第一讲 线面平行构造之平行四边形法 要证明一直线平行于另一平面，可以构造一个平行四边形，利用另一组对边平行且相等来证明这组对 边平行．这个另一组对边，往往在重垂线、水平线、侧平线中寻找，因为它们必然平行，只需要证明相等 即可． 构造方式：1．重垂线构造法 2．水平线构造法 3．侧平线构造法 【例 1】如下图，两个全等的正方形 ABCD和 ABFE所在平面相交于 AB， ACM  ， EBN  且 ENAM  ， 求证： //MN 平面 BCF ． 【证明】如图，作 MG∥AB交 BC于 G，作 NH∥AB交 BF于 H；∵MG∥AB， AB∥NH， MG∥NH 又∵ABCD和 ABFE是两个全等的正方形，AC=BE∠ACB=∠ACB=45°，∠MGC=∠NHB=90° ∵ AM=EN，MC=BN， MCG NBH △ △ ， MG NH  ， MGHN 是平行四边形，MN∥GH ∵GH CBF ，MN∥平面 BCF． 点评：重垂线构造法，因为 M、N两点都能作重垂线的平行线． 【例 2】如图，在四棱锥 ABCDS  中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中 BCAD // ，  90BAD ， SA 底 面 ABCD， 2 BCABSA ． 3 2tan SDA ． （1）求四棱锥 ABCDS  的体积； （2）在棱 SD上找一点 E，使 //CE 平面 SAB，并证明． 【解析】（1）∵SA⊥底面 ABCD，tan∠SDA＝2 3 ，SA＝2，∴AD＝3． 由题意知四棱锥 S－ABCD的底面为直角梯形，且 SA＝AB＝BC＝2， VS－ABCD＝ 1 3 ×SA×1 2 ×(BC＋AD)×AB＝1 3 ×2×1 2 ×(2＋3)×2＝10 3 ． （2）当点 E位于棱 SD上靠近 D的三等分点处时，可使 CE∥平面 SAB． 取 SD上靠近 D的三等分点为 E，取 SA上靠近点 A的三等分点为 F，连接 CE，EF，BF，则 EF=2 3 AD，BC=2 3 AD， ∴BC=EF．∴CE∥BF．又∵BF⊂平面 SAB，CE平面 SAB，∴CE∥平面 SAB． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 20 点评：水平线构造法，由于 B、C位于水平线上，故构造一条平行于 BC的水平线． 【例 3】如图所示，在直四棱柱 1111 DCBAABCD  中，已知 ABADDDDC 221  ，AD⊥DC，AB∥DC， 设 E是 DC的中点．求证： ED1 ∥平面 BDA1 ． 【证明】如图，连接 BE，则四边形 DABE为正方形，∴ 11DAADBE  ，且 11//// DAADBE ，∴四边形 EBDA 11 为平行四边形，∴ BAED 11 // ，又 ED1 平面 BDA1 ， BA1 平面 BDA1 ，∴ ED1 ∥平面 BDA1 ． 点评：侧平线构造法，A1、D1位于侧平线两端． 秒杀秘籍：第二讲 线面平行构造之三角形中位线法 证明一直线平行于另一平面，可以找到由一个公共顶点引出的两条线段，并分别找到线段中点，构造 三角形中位线来证明线面平行． 往往需要找出五点，即两个线段端点，一个中点，公共顶点，再找出另一个中点，最后连线即得． 中位线法不需要依托重垂线、水平线、侧平线的载体，但一定要找到公共顶点． 【例 4】如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， E是 1AA 的中点．求证： //1CA 平面 BDE． 【证明】设 OBDAC  ，∵ E、O分别是 1AA 、 AC 的中点， EOCA //1 又 CA1 平面 BDE， EO 平面 BDE， //1CA 平面 BDE 【例 5】如图，在正四棱锥 P ABCD 中，PA AB a  ,点 E在棱 PC上． 问点 E在何处时， //PA EBD平面 ， 并加以证明． http://www.7caiedu.cn/ 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 21 【解析】当 E为 PC中点时， //PA 平面 EBD．连接 AC，且 AC BD O ，由于四边形 ABCD为正方形， ∴O为 AC的中点，又 E为中点，∴OE为△ACP的中位线，∴ EOPA // ，又 PA 平面 EBD，∴ //PA 平面 EBD． 【例 6】如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，点 D为棱 AB的中点，BC＝1， AA1＝ 3 ． （1）求证：BC1∥平面 A1CD； （2）求三棱锥 D－A1B1C的体积． 【解析】（1）证明：连接 AC1交 A1C于点 O，连