第1章 专题7 线面垂直的判定与证明（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 24 专题 7 线面垂直的判定与证明 秒杀秘籍：第一讲 在被垂直平面找垂直（鳖臑法则） 定理：若一条直线 l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线 1l  2l （ 1l 与 l 相交）， 则与 l 异面的直线 2l 垂直于 l 和 1l 构成的平面．鳖臑是最典型的例子． 当出现重垂线 PA时，就需要在水平面 ACB内找到两条垂直相交的直线 BCAC  ，由于 AC与重垂线 PA相交，故能得到 PACBC 面 ，同理，PAC作为被垂直的平面，在平面内找到 PCAD  ，BC与 PC相 交，故可以得到 PBCAD 面 ，PBC作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当 PBDE  时（或 PBAE  ），能得到 ADEPB 面 ． 具体书写格式： PACBC AACPA ACBC CBPA ACBBC ACBPA 面 面 面                    ，同理 PBCAD CBCPC PCAD BCAD PACAD PACBC 面 面 面                        ADEPB AADAEDADDE PBAEPBDE PBAD PBCPB PBCAD 面 或 或 面 面                    【例 1】已知 ABC△ 中  90ACB ， SA 面 ABC， SCAD  ，求证： AD 面 SBC． 【证明】 SACBC AACSA ACBC BCSA ACBBC ACBSA 面 面 面                    ，同理 SBCAD CBCSC SCAD BCAD SACAD SACBC 面 面 面                    ． 【例 2】已知 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD， 2AB  ， 4PA AD  ，E为 BC的中点． （1）求证：DE 平面 PAE；（2）求直线 DP与平面 PAE所成的角． 【证明】（1）在 ADE△ 中， 2 2 2AD AE DE  ， AE DE ，∵ PA 平面 ABCD， DE 平面 ABCD，  PA DE ，又 PA AE A  ， DE 平面 PAE； 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 25 （2） DPE 为DP与平面 PAE所成的角，在 Rt PAD△ ， 4 2PD  ，在 Rt DCE△ 中， 2 2DE  在 Rt DEP△ 中， 2PD DE ， 030DPE  ． 【小结】按照推导式写的证明步骤比传统方式更简洁明了． 【例 3】如图，在四棱锥 ABCDP  中，平面 PAD 平面 ABCD， ADAB  ，  60BAD ，E，F 分别是 AP， AD的中点．求证：（1）直线 EF∥平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD． 【证明】（1）在△PAD中，因为 E，F分别为 AP，AD的中点，所以 EF∥PD． 又因为 EF平面 PCD，PD⊂平面 PCD，所以直线 EF∥平面 PCD． （2）连接 BD．因为 AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为 F是 AD的中点，所以 BF⊥AD．因 为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD． 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD． 【例 4】如图，已知 AB⊥平面 BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB＝BC＝2CD． （1）在线段 BE上是否存在一点 F，使 CF∥平面 ADE？ （2）求证：平面 ADE⊥平面 ABE． 【解析】（1）当 F为 BE的中点时，CF∥平面 ADE． 【证明】取 BE的中点 F，AE的中点 G，连接 FG、GD、CF，∴GF＝1 2 AB，GF∥AB．∵DC＝1 2 AB，CD∥AB， ∴CD∥GF．∴四边形 CFGD是平行四边形．∴CF∥GD．又 CF平面 ADE，DG平面 ADE，∴CF∥平 面 ADE．（2）∵CF⊥BF，CF⊥AB，∴CF⊥平面 ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面 ABE．∵DG⊥平面 ADE， ∴平面 ABE⊥平面 ADE． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 26 秒杀秘籍：第二讲 等腰三角形三线合一构造法 在没有特殊的重垂线和水平面，证一些线面垂直则