第1章 专题8 空间向量与立体几何（达标训练）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 17 19．【证明】（1）四边形 ABCD是正方形，折起后 PE PA ，且 PA AB ， 60PAB   ， PAB 是正三角形， PB PA  ， 正方形 ABCD中， E为CD的中点， EA EB  ， PAE PBE   ， EPB EPA   ， PE PB  ， PA PB P  ， PE 平面 PAB，又 PE 平面 PEC ，平面 PEC 平面 PAB． （2）设正方形的边长为 a，由（1）知 PE 平面 PAB，且 PAB 是边长为 a的正三角形， 三棱锥 E PEC 的体积为 3 3 ， 2 1 3 3 3 4 2 3E PAB aV a     ，解得 2a  ．该三棱锥的表面积： PAE PBE PAB EABS S S S S       21 1 3 12 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2            4 3  ． 20．【证明】（1）因为平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB ，PA AB ，PA平面 PAB， 所以 PA 平面 ABCD．又因为 BC 平面 ABCD，所以 PA BC ． （2）方法一：取 PD中点 F ，连接 EF ， AF ．在 PCD 中， E， F 分别为 PC， PD的中点， 所以 / /EF DC且 1 2 EF DC ．又因为 / /AB DC 且 1 2 AB DC ，所以 / /AB EF 且 AB EF ． 所以四边形 ABEF为平行四边形．所以 / /BE AF ．因为 AF 平面 PAD， BE  平面 PAD， 所以 / /BE 平面 PAD． 方法二：取 DC中点G，连接 BG ， EG ．在 PCD 中， E，G分别为 PC， DC的中点， 所以 / /EG PD．又因为 PD 平面 PAD， EG  平面 PAD，所以 / /EG 平面 PAD． 因为 / /AB DG且 AB DG ，所以四边形 ABGD为平行四边形．所以 / /BG AD． 又因为 AD 平面 PAD， BG  平面 PAD，所以 / /BG 平面 PAD． 因为 / /EG 平面 PAD， / /BG 平面 PAD， EG BG G  ，所以平面 / /BGE 平面 PAD． 又因为 BE 平面 BGE，所以 / /BE 平面 PAD． （3）因为 AP AD ， F 为 PD的中点，所以 AF PD ．又因为 / /BE AF ，所以 BE PD ． 因为 PA 平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PA DC ．因为 / /AB CD， 90DAB  ，所以 AD DC ． 因为 DC AD ，DC PA ，AD PA A  ，所以 DC 平面 PAD．又因为 AF 平面 PAD，所以 DC AF ． 又因为 / /BE AF ，所以 DC BE ．因为 BE DC ， BE PD ，DC PD D  ，所以 BE 平面 PDC ． 又因为 BE 平面 PDC，所以平面 PBC 平面 PDC ． 专题 8 空间向量与立体几何 1．（1）证明：以 A为坐标原点，分别以 AB  ， AD  ， AE  所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系， 可得 (0A ，0， 0)， (1B ，0， 0)， (1C ，2， 0)， (0D ，1， 0)， (0E ，0， 2)． 设 ( 0)CF h h  ，则 (1F ，2， )h ．则 (1,0,0)AB   是平面 ADE 的法向量，又 (0,2, )BF h  ，可得 0BF AB     ． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 18 又直线 BF  平面 ADE ， / /BF 平面 ADE ； （2）解：依题意， ( 1,1,0)BD    ， ( 1,0,2)BE    ， ( 1, 2,2)CE     ． 设 ( , , )n x y z 为平面 BDE的法向量， 则 0 2 0 n BD x y n BE x z             ，令 1z  ，得 (2,2,1)n  ． 4cos , 9| | | | CE nCE n CE n           ． 直线CE与平面 BDE所成