第1章 专题8 空间向量与立体几何（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 27 专题 8 空间向量与立体几何 秒杀秘籍：第一讲 求平面法向量坐标的特殊方法 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量． 2．空间向量基本定理： 如果三个向量 , ,a b c   不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 , ,x y z ，使得 p xa yb zc      ． 若三向量 , ,a b c   不共面，我们把{ , , }a b c   叫做空间的一个基底， , ,a b c   都叫做基向量，空间任何三个不 共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3． 向量的数量积： 已知向量 ,a b   ，则 | | | | cos ,a b a b       叫做 ,a b   的数量积，记作 a b   ，即 a b    | | | | cos ,a b a b       ． 向量 ,a b   的夹角公式 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , = | | | | a b a b a ba ba b a b a a a b b b                ． 4．平面的法向量： 如果表示向量 n  的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 n   ，如果 n   ，那么向量 n  叫做平面 的法向量． 几点注意： （1）法向量一定是非零向量；（2）一个平面的所有法向量都互相平行；（3）向量 n  是平面的法向量， 向量m  是与平面平行或在平面内，则有 0m n    ． 第一步：写出平面内两个不平行的向量 a  = (x1，y1，z1)， b  = (x2，y2，z2)， 第二步：那么平面法向量   i j k y z z x x y n x y z = y z z y ,z x x z ,x y y x y z z x x y x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2               ， ， 5．判定直线、平面间的位置关系 （1）直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 a，b的方向向量分别为 a  ，b  ． ①若 a  ∥b  ，即 a  =λb  ，则 a∥b． ②若 a  ⊥b  ，即 a ·b  = 0，则 a⊥b （2）直线与平面的位置关系： 直线 L的方向向量为 a  ，平面α的法向量为 n，且 L⊥α． ①若 a∥ n，即 a =λ n，则 L⊥ α ②若 a⊥ n，即 a · n = 0，则 a∥ α． （3）平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 1n  ，平面β的法向量为 2n  ． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 28 ①若 1n  ∥ 2n  ，即 1n  =λ 2n  ，则α∥β ②若 1n  ⊥ 2n  ，即 1n  · 2n  = 0，则α⊥β 【例 1】正方体 1111 DCBAABCD  中，E、F分别是 1BB 、CD的中点，求证:平面 AED⊥平面 FDA1 ． 【证明】以A为原点建立如图所示的的直角坐标系 A-xyz，设正方体的棱长为 2，那么 )1,0,2(E ， )2,0,0(1A ， )0,2,1(F ， )0,2,0(D ，于是 )1,0,2(AE ， )0,2,0(AD 设平面 AED的法向量为 ),,(1 zyxn  得      02 02 y zx 解得：       0 2 1 y zx 取 2z 得 )2,0,1(1 n 同理可得平面 FDA1 的法向量为 )1,0,2(2 n 020221  nn 平面 AED 平面 FDA1 ． 6．空间角的计算 （1）两条异面直线所成角的求法：设直线 a，b的方向向量为 a，b  ，其夹角为θ，则 cos φ＝|cos θ|＝ |||| || ba ba  (其 中φ为异面直线 a，b所成的角)． （2）直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l的方向向量为 e，平面α的法向量为 n，直线 l与平面α 所成的角为φ，两向量 e与 n的夹角为θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |||| || ne ne  ，或者 sin φ