专题20 四边形中的线段长度问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题20 四边形中的线段长度问题 1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，则CD的长为（　　） A． B．5 C． D．10 解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD， ∵∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8， ∴BO＝4，OA＝3， ∴＝＝， ∴． 故选：A． 2、如图，E、F分别是正方形ABCD边AD、BC上的两定点，M是线段EF上的一点，过M的直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 证明：如图1，过B作BG∥EF，过C作CQ∥PH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠CBQ＝90°， ∴四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形， ∴EF＝BG，PH＝CQ， ∵PH＝EF， ∴BG＝CQ， ∵AB＝BC， ∴Rt△ABG≌Rt△BCQ（HL）， ∴∠ABG＝∠BCQ， ∴∠ABG+∠CBG＝∠CBG+∠BCQ＝90°， ∴CQ⊥BG， ∴PH⊥EF， 所以图1中过M与EF垂直满足条件有一条， 如图2，还有两条：P1H1，P2H2， 故选：C． 3、如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为　 　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC， ∴OC＝OD， ∵EO＝2DE， ∴设DE＝x，OE＝2x， ∴OD＝OC＝3x，AC＝6x， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝∠OEC＝90°， 在Rt△OCE中， ∵OE2+CE2＝OC2， ∴（2x）2+52＝（3x）2， ∵x＞0， ∴DE＝，AC＝6， ∴CD＝＝＝， ∴AD＝＝＝5， 故答案为：5． 4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F． （1）求证：OE＝CD； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长． （1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC． ∵DE：AC＝1：2， ∴DE＝OC， ∵DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵AC⊥BD， ∴平行四边形OCED是矩形． ∴OE＝CD． （2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝2． ∴在矩形OCED中， CE＝OD＝＝＝． 在Rt△ACE中， AE＝＝＝． 5、四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若BC＝AB，求∠ACB的度数； （3）在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD的值． （1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：如图2中， 在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30°； （3）解：如图3中，作FH⊥AC于H． ∵∠ACB＝∠ECF＝30°， ∴∠BCE＝∠FCH， ∵CE＝CF，∠B＝∠FHC＝90°， ∴△BCE≌△HCF， ∴BE＝FH， 在Rt△AFH中，∵∠FAH＝30°， ∴FH＝AF， ∴AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB， 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝30°， ∴AB＝AC＝2， ∴AE+AF＝2， ∴2AE+AF＝4， ∴AF＝4﹣2AE， ∴DF＝AD﹣AF＝2﹣（4﹣2AE）， ∴2AE﹣FD＝4﹣2． 6、如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长； （3）求线段CF的长度的最小值． 解（1）如图1，作DK⊥AB于点K， ∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF， ∴∠AEF＝α，AE＝EF， 在Rt△DAK中， ∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13， ∴AK＝5， ∴DK＝＝＝12， ∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300； （2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α， ∵∠AHD＝∠ADH＝α， ∴AH＝AD＝13， 过点A作AM⊥DH于点M， 由（1）知AM＝12， ∴DM＝＝5， ∴DH＝10， ∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α， ∴∠DEA＝∠F， 在△AEH和△EFC中， ， ∴△AEH≌△EF