专题19 四边形中的平移综合问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题19 四边形中的平移综合问题 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，连接BD，现将三角形ABD平移到三角形ECF的位置． （1）指出平移的方向和平移的距离； （2）求证：AF＝AD+BC； （3）若AD＝BC，三角形ABD的面积为15，求四边形ABCF的面积． 解：（1）平移的方向是点B到点C的方向，平移的距离是线段BC的长度； （2）∵△ABD平移到△ECF的位置， ∴DF＝BC， ∵AD+DF＝AF， ∴AD+BC＝AF． （3）∵AD＝BC，三角形ABD的面积为15， ∴三角形BDC的面积为， ∵DF＝BC， ∴三角形DCF的面积为， ∴S梯形ABFD＝15+＝60． 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，连接BD，现将三角形ABD平移到三角形ECF的位置． （1）指出平移的方向和平移的距离； （2）求证：AF＝AD+BC； （3）若AD＝BC，三角形ABD的面积为15，求四边形ABCF的面积． 解：（1）平移的方向是点B到点C的方向，平移的距离是线段BC的长度； （2）∵△ABD平移到△ECF的位置， ∴DF＝BC， ∵AD+DF＝AF， ∴AD+BC＝AF． （3）∵AD＝BC，三角形ABD的面积为15， ∴三角形BDC的面积为， ∵DF＝BC， ∴三角形DCF的面积为， ∴S梯形ABFD＝15+＝60． 3、阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于　 　． 解：△BDE的面积等于1． （1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP． （2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE， ∴四边形AFEP为平行四边形， ∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点， 又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点， ∴N为PC的中点， ∴E为△PFC各边中线的交点， ∴△PEC的面积为△PFC面积的 连接DE，可知DE与PE在一条直线上 ∴△EDC的面积是△ABC面积的 所以△PFC的面积是1××3＝ ∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于． 4、操作与探究： （1）点P为数轴上任意一点，对点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点P的对应点P′． 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是　 　；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是　 　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　 　． （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，请直接写出点F的坐标　 　． 解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0， 设点B表示的数为a，则a+1＝2， 解得a＝3， 设点E表示的数为b，则b+1＝b， 解得b＝； 故答案为：0，3，； （2）根据题意，得：， 解得：， 设点F的坐标为（x，y）， ∵对应点F′与点F重合， ∴x+＝x，y+2＝y， 解得x＝1，y＝4， 所以，点F的坐标为（1，4）． 5、如图，已知射线CD∥OA，点E、点F是OA上的动点，CE平分∠OCF，且满足∠FCA＝∠FAC． （1）若∠O＝∠ADC，判断AD与OB的位置关系，证明你的结论． （2）若∠O＝∠ADC＝60°，求∠ACE的度数． （3）在（2）的条件下左右平行移动AD，∠OEC和∠CAD存在怎样的数量关系？请直接写出结果（不需写证明过程） 解：（1）∵CD∥OA，