专题18 四边形中的对称综合问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题18 四边形中的对称综合问题 1、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝2，BC＝2，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′． （1）当点E与点C重合时，求DF的长； （2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积； （3）如果点M为CD的中点，那么在点E从点C移动到点D的过程中，求C′M的最小值． 解：（1）如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝2，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴tan∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30°， 由翻折不变性可知：∠ACB＝∠ACF＝30°， ∠DCF＝30°， ∴DF＝CD•tan30°＝ （2）如图2中， ∵∠DAE＝22.5°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠EAB′＝67.5°， ∴∠B′AF＝45°， ∵∠B′＝90°， ∴∠B′AF＝∠B′FA＝45°， ∵B′A＝B′F＝2， ∴AF＝2， ∴DF＝2﹣2， ∵∠AFB′＝∠DFG＝45°， ∴DG＝DF＝2﹣2， ∴S△DFG＝•（2﹣2）2＝ （3）如图3中，连接AM，AC′，MC′． ∵AC′＝4，AM＝＝， ∵C′M≥AC′﹣AM， ∴C′M≥4﹣， ∴C′M的最小值为4﹣． 2、有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9． （1）如图1，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由． 解：（1）如图1所示直线MN即为所求； （2）小明的判断不正确． 理由：如图2，连接ID， 在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4， ∴CK＝＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DKC＝∠ICK， 由折叠可知，∠A′B′I＝∠B＝90°， ∴∠IB′C＝90°＝∠D， ∴△CDK∽△IB′C， ∴＝＝， 即＝＝， 设CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k， 由折叠可知，IB＝IB′＝4k， ∴BC＝BI+IC＝4k+5k＝9， ∴k＝1， ∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3， 在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝＝， 连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝＝， ∴tan∠B′IC≠tan∠DIC， ∴B′I所在的直线不经过点D． 3、已知：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合（点D与D′为对应点），折痕为EF，连接AF、AC交EF于点O． （1）如图1，求证：四边形AECF为菱形； （2）如图2，若FC＝2OE，连接DO、D′O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形． （1）证明：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF， ∴AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AE∥CF， ∴∠CFE＝∠AEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CF＝CE， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形； （2）等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COD′； 理由如下： ∵FC＝2DF，AF＝FC， ∴AF＝2DF， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝60°， ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF，△AEF≌△CEF，OA＝OC＝AC， ∴△AEF和△CEF是等边三角形； ∵∠ADC＝90°， ∴OD＝AC＝OA， ∵∠OAF＝∠EAF＝30°， ∴∠OAD＝60°， ∴△AOD是等边三角形； ∵CD′＝AD＝OC，OD′＝AC， ∴CD′＝OC＝OD′， ∴△COD′是等边三角形． 4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形OABC，点B的坐标为（3，8），点A、C分别在坐标轴上，D为OC的中点． （1）在x轴上找一点P，使得PD+PB最小，则点P的坐标为　 　； （2）在x轴上找一点Q，使得|QD﹣QB|最大，求出点Q的坐标并说明理由． 解：（1）作D关于x轴的对称点D'，连接BD'，交x轴于点P ∵PD＝PD' ∴PD+PB＝PD'+PB ∴当B、P、D'在同一直线上时，PD+PB＝BD'最小 ∵四边形OABC是矩形，B（3，8） ∴C（0，8） ∵D为OC中点 ∴D（0，4） ∴D'（0，﹣4） 设直线BD'解析式为：y＝kx+b 解得： ∴直线BD'：y＝4x﹣4 当4x﹣4＝