专题十八 二次函数与角度问题-2021年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题十八 二次函数与角度问题 1．（2020•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）． （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 2．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 3．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）． （1）求二次函数的解析式． （2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ，求点K的坐标． 4． 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方时，求面积的最大值． （3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 5．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值； （3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． （坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝） 网版权所有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 专题十八 二次函数与角度问题 1．（2020•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）． （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式； （2）设P（m，m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可； （3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题． 【解析】（1）令y＝0，得yx2﹣x﹣3＝0， 解得，x＝﹣2，或x＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ， 解得，， ∴直线l的解析式为； （2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为 P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1）， ∴PMm2+m+3，MNm+1，NPm2m+2， 分两种情况： ①当PM＝3MN时，得m2+m+3＝3（m+1）， 解得，m＝0，或m＝﹣2（舍）， ∴P（0，﹣3）； ②当PM＝3NP时，得m2+m+3＝3（m2m+2）， 解得，m＝3，或m＝﹣2（舍）， ∴P（3，）； ∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，）或（0，﹣3）； （3）∵直线l与y轴于点E， ∴点E的坐标为（0，﹣1）， 分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1， 过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°， ∵∠Q1EH＝∠AEO， ∴△Q1EH∽△AEO， ∴，即 ∴Q1H＝2HE， ∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°， ∴Q1H＝DH， ∴DH＝2EH， ∴HE＝ED， 连接CD， ∵C（0，﹣3），D（4，﹣3）， ∴CD⊥y轴， ∴ED， ∴，， ∴， ∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9， ∴Q1（0，9）； ②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G