大题易丢分期中考前必做30题（提升版）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

大题易丢分期中考前必做30题（提升版） 1．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）在中，角所对边分别是，且． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将化简代入数据得到答案. （2）利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）． （2）在中，，可得：， 由余弦定理可得， 即有，当且仅当时，取得等号， 则面积， 即当时，的面积取得最大值． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 2．（2020·全国高一课时练习）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得； （2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得． 【详解】解：（1），解得； （2） ． 【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原： (1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 3．（2021·上海高一课时练习）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到，解得或，从而判断△ABC的形状. 【详解】由正弦定理，得， 即 ，． ∴，或． ∵，则或． 故△为等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题. 4．（2021·上海高一课时练习）（1）若角的终边经过点，求、的值； （2）已知，求满足条件的角的集合． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据题意，可先求出的长，即，再根据正弦、余弦的定义求解对应数值即可；需先对化简，得，再根据的取值范围进行求解即可 【详解】（1）由题知，，解得， 当时，，； 当时，， 综上所述，， （2）由，， 即，又，，，所以 满足条件的角的集合为 【点睛】本题考查三角函数基本定义的求法，当涉及参数时，需进行分类讨论，同时也考查了根据值域来求解定义域的方法，属于中档题 5．（2021·上海高一课时练习）已知，且是第四象限角． （1）若为角终边上的一点，写出符合条件的一个点坐标； （2）求、的值． 【答案】（1）（2）； 【分析】（1）假设，根据正切定义算出值即可 （2）根据三角函数基本定义进行求解 【详解】（1）假设，根据，则点坐标为 （2），， 【点睛】本题考查三角函数的基本定义，根据三角函数的基本定义求解具体的三角函数值，是基础题 6．（2018·浙江高一专题练习）已知,,分别为三个内角的对边，,. （1）求； （2）若的中点，，求,. 【答案】(1)；(2)或. 【详解】分析：（1）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求，利用平面向量数量积的运行可求，根据三角形面积公式即可计算得解． （2）由已知可得，两边平方可得又结合，即可解得的值． 详解：（1) 又 (2) 又或. 点睛：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题． 7．（2021·上海高一单元测试）如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市． （Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？ （Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？ 【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元. 【分析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可； （Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得，，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 （Ⅰ）如图，根据题意得： ，，，． 在中，由余弦定理得， , 所以客轮的航行速度（海里/小时）． 因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得，， 整理得：， 解得或（不合舍去）． 所以客轮从处到岛所用的时间小时， 小张到岛所用的时间至少为小时． 由于， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮. （Ⅱ）在中，，, 所以为锐