大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

大题好拿分期中考前必做30题（压轴版） 1．（2021·上海高一单元测试）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. （1），求的长； （2）在中，若是钝角，求证：； （3）给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）先根据正弦定理得，再根据余弦定理求的长； （2）先根据余弦定理得，再根据正弦定理放缩证明结果； （3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求. 【详解】（1） 由正弦定理得 所以（负舍）； （2） 因为，是钝角， 所以 因此； （3）当时, 不存在， 当时，不存在， 当时，存在一个，此时 当时，存在一个， 此时， 当时，存在两个， 当A为锐角时， 当A为钝角时， 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题. 2．（2021·浙江高一期末）已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）计算化简，得出即可证明； （2）根据奇函数得出，再根据单调性得出，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可. 【详解】（1）证明：的定义城是R，又， 且， 所以，是奇函数. （2）解：由， 得， 因为是奇函数， 所以， 即. 又因为在R上单调递增， 所以， 即， 所以，对任意，恒成立， 设，. 则. 因为函数在上单调递减， 所以，即，则， 所以，实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值. 3．（2021·云南昆明一中高一期末）函数在上的最大值为. （1）求常数的值； （2）当时，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题首先可根据二倍角公式将函数解析式转化为，然后根据得出，再然后结合正弦函数性质得出当时函数在上取最大值，最后根据即可得出结果； （2）本题首先可将不等式转化为，然后结合正弦函数性质得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1） ， 当时，， 结合正弦函数性质易知， 当，即时，函数在上取最大值， 因为函数在上的最大值为， 所以，解得，. （2），即，， 结合正弦函数性质易知， 即， 解得， 故的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数最值求参数以及与三角函数相关的不等式问题的解法，考查正弦函数的性质的应用，考查应用二倍角公式进行转化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题. 4．（2021·安徽六安市·六安一中高一期末）六安一中新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）. （1）若，（百米），求平面四边形的面积； （2）若（百米）. （i）证明：； （ii）若，面积依次为，，求的最大值. 【答案】（1）（平方百米）；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）. 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得的长，再分别计算，的面积，即可求解； （2）（i）在和中，分别利用余弦定理两式相减即可求证； （ii）用三角形的面积公式将表示， 再将代入转化为关于的二次函数，利用三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可求最值. 【详解】 （1）令，在中，由余弦定理可得： 即，解得：或（舍） 在中，，， 所以， 在中，，， 所以边上的高为， 所以， 所以（平方百米）. （2）在中， 在中 所以， 所以. （ii） 所以 因为， 所以，可得 ∴ 所以时，， 即时取得最大值，且最大值为（平方百米）. 【点睛】关键点点睛：求用三角形的面积公式表示出来，结合已经证明的即可将面积平方和转化为关于只含一个变量的函数，利用二次函数的性质可求最值. 5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y. （1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式； ②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值. 【答案】（1）①.②；（2）选择②时，函数取得最大值. 【分析】（1）①根据PN＝QM=x，结合半径为，圆心角为60°，分别求得，，进而得到MN求解；②根据∠POB＝θ，结合半径为，圆心角为60°，求得，再由，进而得到MN求解. （2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化，利用直线函数的性质