类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题 【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)根据题意得，－eq \f(b,2a)＝3， 即b＝－6a， 则抛物线的解析式为y＝ax2－6ax＋4，将B(8，0)代入得， 0＝64a－48a＋4， 解得a＝－eq \f(1,4)，则b＝eq \f(3,2)， ∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4； (2)设直线BC的解析式为y＝kx＋d， 由抛物线解析式可知：当x＝0时，y＝4，即点C(0，4)， 将B(8，0)，C(0，4)代入得： 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),d＝4))， ∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋4， 设点M的横坐标为x(0＜x＜8)， 则点M的纵坐标为－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4，点N的纵坐标为－eq \f(1,2)x＋4， ∵点M在抛物线上，点N在线段BC上，MN∥y轴， ∴MN＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4－(－eq \f(1,2)x＋4)＝－eq \f(1,4)x2＋2x＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4， ∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4； （3）存在． 令－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4＝0， 解得x1＝－2，x2＝8， ∴A(－2，0)， 又∵C(0，4)， 由勾股定理得，AC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)， 如解图，过点C作CD⊥对称轴于点D，连接AC. ∵抛物线对称轴为直线x＝3， ∴CD＝3，D(3，4)． ①当AC＝CQ时， DQ＝eq \r(CQ2－CD2)＝eq \r(（2\r(5)）2－32)＝eq \r(11)， 当点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4＋eq \r(11)， 此时，点Q1(3，4＋eq \r(11))， 当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4－eq \r(11)， 此时点Q2(3，4－eq \r(11))； ②当AQ＝CQ时，设Q（3，t），则AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2， 则（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0， 此时，点Q3(3，0)； ③当AC＝AQ时， ∵AC＝2eq \r(5)，点A到对称轴的距离为5，2eq \r(5)<5， ∴不可能在对称轴上存在Q点使AC＝AQ， 综上所述，当点Q的坐标为(3，4＋eq \r(11))或(3，4－eq \r(11))或(3，0)时，△ACQ为等腰三角形． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形) (3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)将C、A两点坐标代入y＝x2＋bx＋c，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36＋6b＋c＝0,c＝－6))， 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5,c＝－6))， ∴抛物线的解析式为y＝x2－5x－6； (2)当y＝0时，则有：x2－5x－6＝0， 即(x＋1)(x－6)＝0， ∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)， ∴B(－1，0)． 由两点之间的距离公式可得： BC2＝[(－1)－6]2＝49， AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72， AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37， ∵AB2＋BC2>AC2， ∴△ABC为锐角三角形． (3)存在满足条件的点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形 理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P， 直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P， ∵A(0，－6)，C(6，0)， ∴点M的坐标为(3，－3)，且OA=OC， ∴直线MP过点O， 设直线MP的解析式为y＝kx， 将点M(3，－3)代入得，k＝－1， 即直线MP的解析式为y＝－x， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x,y＝x2－5x－6))， 解得eq \b\