类型九 二次函数与菱形有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型九 二次函数与菱形有关的问题 【典例1】如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 . ①用含 的代数式表示线段 的长； ②连接 ， ，求 的面积最大时点 的坐标； （3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（ ，﹣ ）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2 ），M3（2，1+2 ）． 【解析】 （1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD ＝ OB•PD＝﹣ m2+ m ＝﹣ （m﹣ ）2+ ． ∴当m＝ 时，S有最大值． 当m＝ 时，m2﹣4m+3＝﹣ ． ∴P（ ，﹣ ）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（ ，﹣ ）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1）， ∴EF=CF=2， ∴EC=2， 根据菱形的四条边相等， ∴ME=EC=2 ，∴M（2，1-2 ）或（2，1+2 ） 当EM=EF=2时，M（2，3） ∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2 ），M3（2，1+2 ）． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点． （1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式． （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标． （3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4） 【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）； （3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论： ①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）； AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB； ②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D． ∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=． ∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似． 综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）． 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣ ， ）；（3