类型八 二次函数与平行四边形有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型八二次函数与平行四边形有关的问题 【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． （3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣ ）；（3）存在，P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或P（﹣1﹣2 ，0）、Q（1﹣2 ，4）． 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论； （2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可； （3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝ ， 设点E（0，m），则AE＝ ，CE＝|m+3|， ∵△ACE是等腰三角形， ∴①当AC＝AE时， ＝ ， ∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去）， ∴E（3，0）， ②当AC＝CE时， ＝|m+3|， ∴m＝﹣3± ， ∴E（0，﹣3+ ）或（0，﹣3﹣ ）， ③当AE＝CE时， ＝|m+3|， ∴m＝﹣ ， ∴E（0，﹣ ）， 即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣ ）； （3）如图，存在，∵D（1，﹣4）， ∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P， ∴点Q的纵坐标为4， 设Q（t，4）， 将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2 或t＝1﹣2 ， ∴Q（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）， 分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4）， ∴FB＝PG＝3﹣1＝2， ∴点P的横坐标为（1+2 ）﹣2＝﹣1+2 或（1﹣2 ）﹣2＝﹣1﹣2 ， 即P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或P（﹣1﹣2 ，0）、Q（1﹣2 ，4）． 【点睛】 此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【典例2】如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在 轴上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若点 的横坐标为 ，当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解析】（1）∵直线 经过点 ,∴ ∵抛物线 经过点 ， EMBED Equation.DSMT4 ∴ ∴抛物线的解析式为 （2）∵点 的横坐标为 且在抛物线上 ∴ ∵ ∥ ，∴当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形 当 时， ∴ ，解得： 即当 或 时，四边形 是平行四边形 当 时， ，解得： （舍去） 即当 时，四边形 是平行四边形 【典例3】已知抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）将抛物线 经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（ 在B的右侧），顶点D的对应点 ，若 ，求 的坐标和抛物线 的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线 或 上是否存在点P，使以 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B （3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），（4，-3）． 【解析】 【分析】 （1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出