类型七 二次函数与直角三角形有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型七 二次函数与直角三角形有关的问题 【典例1】如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点． （1）若过点 的直线 是抛物线的对称轴． ①求抛物线的解析式； ②对称轴上是否存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 当 ， 时，函数值 的最大值满足 ，求 的取值范围． 【答案】（1）① ；②存在， 或 ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式； ②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点 在对称轴上，连接 、PB，根据轴对称得到 ， ，求出点B的坐标，勾股定理得到 ，再根据 ，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可； （2）当 时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当 时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可． 【详解】 解：（1）①抛物线 的对称轴为直线 ， ∴若过点 的直线 是抛物线的对称轴， 则 ，解得：b=4， ∴ ； ②存在， 如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点 在对称轴上，连接 、PB， 则 ， ， 对于 ，令y=0，则 ， 解得： ， ∴A（-1,0），B（5,0）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点P（2，m）， 由 可得： ，解得： ， ∴ ， 同理，当点P在x轴下方时， ， 综上所述，点 或 （2）∵抛物线 的对称轴为直线 ， ∴当 时， ， ∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大， ∴当 时，取x=2，y有最大值， 即 ， ∴ ，解得： ， 又∵ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质． 【典例2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点． （1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式； （2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标； （3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与 DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2＋3x＋4，y=-x＋4；（2） ；（3）存在， 【解析】 【分析】 （1）运用待定系数法，利用A，B两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B，C两点的坐标确定直线BC的表达式； （2）先求得DE的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE，点P与点F的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE长构建一元二次方程求解； （3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF∽△CDE一种情况．△CDE的三边均可求，（2）中已表示PF的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P是否存在，以及求解点P的值． 【详解】 （1）由题意，将A(-1．0)，B(4．0)代入 ，得 ，解得 ， ∴二次函数的表达式为 ， 当 时，y=4， ∴点C的坐标为(0，4)，又点B的坐标为(4，0)， 设线段BC所在直线的表达式为 ， ∴ ，解得 ， ∴BC所在直线的表达式为 ； （2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴， ∴DE∥PF， 只要DE=PF，此时四边形DEFP即为平行四边形． 由二次函数y=- +3 +4=( - ) 2+ ，得D的坐标为( ， )， 将 代入 ，即y=- +4= ，得点E的坐标为( ， )， ∴DE= - = ， 设点P的横坐标为t，则P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)， PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t， 由DE=PF，得-t2+4t= ， 解之，得t1= (不合题意，舍去)，t2= ， 当t= 时，-t2+3t+4=-( )2+3× +4= ， ∴P的坐标为( ， )； （3）由（2）知，PF∥DE， ∴∠CED=∠CFP， 又∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部， ∴∠PCF≠∠DCE， ∴只有当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE， 由D ( ， )，C(0，4)，E( ， )，利用勾股定理，可得 CE= ，DE= ， 由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，