专题1 培优点4 洛必达法则-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（通用）湘闽粤word

培优点4　洛必达法则 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)f(x)＝g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则 ＝ ＝A(可连续使用)． 例　已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0； 当x>0时，由f(x)≥0得，a≤， 设g(x)＝，则g′(x)＝， 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)， 则h′(x)＝xex－ex＋1， 记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝，故a≤. 综上，实数a的取值范围是. 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，学生常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，利用洛必达法则． 已知函数f(x)＝＋，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立，求k的取值范围． 解　由题意，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立等价于k<＋1－＝＋1， 记g(x)＝＋1， 则g′(x)＝ ＝； 又记h(x)＝ln x＋， 则h′(x)＝－＝>0， 所以，当x>0时，h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0， 因此，当x∈(0,1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0；即当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0； 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则有 g(x)＝ ＋1＝ ＋1＝0， 即当x→1时，g(x)→0. 所以当x>0且x≠1时，g(x)>0， 所以k≤0. 故所求k的取值范围是(－∞，0]． $