考 案 (一) 第一章 集合与常用逻辑用语-【成才之路】2020-2021学年高中新教材新课程数学必修一同步学习指导（人教B版）

▲ １８９ ▲ ▲ １９０ ▲ 由图像可知 ｆ(ｘ) ＝ ｘ 的解的个数为 ３. ７. ∵ ｆ(１) > ０ꎬ∴ ３ａ ＋ ２ｂ ＋ ｃ > ０ꎬ 即 ３(ａ ＋ ｂ ＋ ｃ) － ｂ － ２ｃ > ０ꎬ ∵ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ０ꎬ∴ － ｂ － ２ｃ > ０ꎬ 则 － ｂ － ｃ > ｃꎬ即 ａ > ｃ. ∵ ｆ(０) > ０ꎬ∴ ｃ > ０ꎬ则 ａ > ０. 在[０ꎬ１]内选取二等分点 １ ２ ꎬ 则 ｆ( １ ２ ) ＝ ３ ４ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ３ ４ ａ ＋ ( － ａ) ＝ － １ ４ ａ < ０. ∵ ｆ(０) > ０ꎬｆ(１) > ０ꎬ ∴ ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ １ ２ )和( １ ２ ꎬ１)上至少各有一个零点ꎬ 又 ｆ(ｘ)最多有两个零点ꎬ从而 ｆ(ｘ) ＝ ０ 在[０ꎬ１]内有两个实根. 练案[２６] Ａ 级　 基础巩固 １. Ｃ　 由题图知在不同时段内ꎬ路程曲线不同ꎬ故函数模型为分段函 数. ２. Ａ　 设矩形的长为 ｘꎬ则宽为 １ ４ (２４ － ２ｘ)ꎬ则矩形的面积为 Ｓ ＝ １ ４ (２４ － ２ｘ)ｘ ＝ － １ ２ ( ｘ２ － １２ｘ) ＝ － １ ２ ( ｘ － ６)２ ＋ １８ꎬ所以当 ｘ ＝ ６ 时ꎬ矩形的面积最大ꎬ此时隔墙的长度应为 ３ ｍ. ３. Ｄ　 因为利润 ＝ 收入 － 成本ꎬ当产量为 ｘ 件时(ｘ∈Ｎ)ꎬ利润 ｆ(ｘ) ＝ ２５ｘ － (ｘ２ － ８０ｘ)ꎬ所以 ｆ(ｘ) ＝ １０５ｘ － ｘ２ ＝ － ｘ － １０５２( ) ２ ＋ １０５ ２ ４ ꎬ 所以 ｘ ＝ ５２ 或 ｘ ＝ ５３ 时ꎬｆ(ｘ)有最大值. ４. Ｃ　 令 ｙ ＝ ６０ꎬ若 ４ｘ ＝ ６０ꎬ则 ｘ ＝ １５ > １０ꎬ不合题意ꎻ若 ２ｘ ＋ １０ ＝ ６０ꎬ 则 ｘ ＝ ２５ꎬ满足题意ꎻ若 １. ５ｘ ＝ ６０ꎬ则 ｘ ＝ ４０ < １００ꎬ不合题意. 故拟 录用 ２５ 人. ５. Ｂ　 从图 ２ 可看出ꎬＢＣ ＝ ８ꎬＣＤ ＝ １０ꎬＤＡ ＝ １０ꎬ在图 １ 中ꎬ过点 Ｄ 作 ＡＢ 的垂线ꎬ垂足为 Ｅꎬ可推得 ＡＥ ＝ ６ꎬＡＢ ＝ １６ꎬ所以梯形的面积为 １ ２ (ＤＣ ＋ ＡＢ)􀅰ＢＣ ＝ １ ２ (１０ ＋ １６) × ８ ＝ １０４ꎬ故选 Ｂ. ６. ｙ ＝ ａ ４ ｘ(ｘ∈Ｎ ＋ )　 依题意ꎬ设新价为 ｂꎬ则有 ｂ(１ － ２０％ ) － ａ(１ － ２５％ ) ＝ ｂ(１ － ２０％ )􀅰２５％ . 化简ꎬ得 ｂ ＝ ５ ４ ａ. ∴ ｙ ＝ ｂ􀅰２０％ 􀅰ｘ ＝ ５ ４ ａ􀅰２０％ 􀅰ｘꎬ即 ｙ ＝ ａ ４ ｘ(ｘ∈Ｎ ＋ ). ７. ２５０　 ３００　 Ｌ(Ｑ) ＝ ４Ｑ － １ ２００ Ｑ２ － (２００ ＋ Ｑ) ＝ － １ ２００ (Ｑ － ３００)２ ＋ ２５０ꎬ则当 Ｑ ＝ ３００ 时ꎬ总利润 Ｌ(Ｑ)取最大值 ２５０ 万元. ８. １０　 设全部物资到达灾区所需时间最少为 ｔ ｈꎬ 由题意可知ꎬｔ 相当于最后一辆车行驶了 ５０ × ｖ ２ ８００ ＋ ４００( ) ｋｍ 所 用的时间ꎬ 因此ꎬｔ ＝ ５０ × ｖ ２ ８００ ＋ ４００ ｖ ＝ ｖ １６ ＋ ４００ ｖ ≥２ ｖ １６ × ４００ ｖ ＝ １０. 当且仅当 ｖ １６ ＝ ４００ ｖ ꎬ即 ｖ ＝ ８０ 时取“ ＝ ”. 故最少需要 １０ ｈ. ９. 设小矩形的长为 ｘꎬ宽为 ｙꎬ窗户的面积为 Ｓꎬ 则由题图可得 ９ｘ ＋ πｘ ＋ ６ｙ ＝ ｌꎬ 所以 ６ｙ ＝ ｌ － (９ ＋ π)􀅰ｘꎬ 所以 Ｓ ＝ π ２ ｘ２ ＋ ４ｘｙ ＝ π ２ ｘ２ ＋ ２ ３ ｘ􀅰[ｌ － (９ ＋ π)􀅰ｘ] ＝ － － ３６ ＋ π ６ ｘ２ ＋ ２ ３ ｌｘ ＝ － ３６ ＋ π ６ 􀅰 ｘ － ２ｌ３６ ＋ π( ) ２ ＋ ２ｌ ２ ３(３６ ＋ π) . 要使窗户所透过的光线最多ꎬ只需窗户的面积 Ｓ 最大. 由 ６ｙ > ０ꎬ得 ０ < ｘ < ｌ ９ ＋ π . 因为 ０ < ２ｌ ３６ ＋ π < ｌ ９ ＋ π ꎬ 所以当 ｘ ＝ ２ｌ ３６ ＋ π ꎬｙ ＝ ｌ － (９ ＋ π)ｘ ６ ＝ ｌ(１８ － π) ６(３６ ＋ π) ꎬ即 ｘ ｙ ＝ １２ １８ － π 时ꎬ 窗户的面积 Ｓ 有最大值ꎬ且 Ｓｍａｘ ＝ ２ｌ２ ３(３６ ＋ π) . １０. (１)当 ０ < ｘ≤３０ 时ꎬｙ ＝ ９００ꎻ当 ３０ < ｘ≤７５ꎬｙ ＝ ９００ － １０(ｘ － ３０) ＝ １ ２００ － １０ｘ. 即 ｙ ＝ ９００ꎬ ０ < ｘ≤３０ꎬ １ ２００ － １０ｘꎬ３０ < ｘ≤７５.{ (２)设旅行社所获利润为 Ｓ 元ꎬ 则当 ０ < ｘ≤３０ 时ꎬＳ ＝ ９００