专题01 待定系数法-备战2021年高考数学解题方法和数学思想专练

专题01 待定系数法 【方法指导】 待定系数法解题，是高中数学常用解题方法之一，也是学生必须掌握的解题方法。 对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。待定系数法的实质是方程的思想。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。 例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： （1）利用对应系数相等列方程； （2）由恒等的概念用数值代入法列方程； （3）利用定义本身的属性列方程； （4）利用几何条件列方程等。 【例题解读】 【典例1】 （2021·云南高三其他模拟（理））“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系 ( ， 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ） A．9℃ B．12℃ C．18℃ D．20℃ 【答案】B 【分析】 由题得 ，再求出当 时 的值即得解. 【详解】 当 时， ；当 时， ， 则 ，整理可得 . 当物流时间为3天时，3 小时. 所以 ， 则 ， 该果蔬所需物流时间为3天， 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12℃. 故选：B 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是把72化成 ，再把 分别化成 得解. 【典例2】 （2020·江西高三其他模拟（理））水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足 ，则下列叙述正确的是（ ） A． B．当 时，函数 单调递增 C．当 ， 的最大值为 D．当 时， 【答案】D 【分析】 求出圆的半径 ，利用周期求出 ，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可． 【详解】 由题意， ， ，所以 ； 又点 代入 可得 ，解得 ； 又 ，所以 ．故 不正确； 所以 ，当 ， 时， ， ，所以函数 先增后减， 错误； ， 时，点 到 轴的距离的最大值为6， 错误； 当 时， ， 的纵坐标为 ，横坐标为 ，所以 ， 正确． 故选： ． 【点睛】 思路点睛：本题考查 的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线 或点 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求 的范围，验证此区间是否是函数 的增或减区间. 【典例3】（2021·江西高三其他模拟（文））在等差数列 中， .记 ，则数列 （ ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】 根据题意求出 ，根据等差数列 的各项符号得到数列 的单调性，由此可求得结果. 【详解】 依题意可得公差 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 因为 ， ， ， ， ， ， 又当 时， ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ，所以当 时，数列 单调递增， 所以数列 无最大项，数列 有最小项 . 故选：C 【点睛】 关键点点睛：利用等差数列 的各项的符号求解是解题关键. 【典例4】（2020·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））已知抛物线 的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线 相切，若圆P的面积为 ，则圆P的方程为（