2021年河南省六市高三第一次联考数学(理)试题（PDF不可编辑）

$ ２０２１年河南省六市高三第一次联考 数学理科参考答案 一、选择题 １􀆼５　CABDB　６􀆼１０　CCADD　１１􀆼１２　AB 二、填空题 １３．－ ２ １４５ ２９ (或者－ １０ １４５ )　　１４．－７　　１５．an＝ １ ３ (n＝１) ４ ４n２－１ (n≥２) ì î í ï ïï ï ïï 　　１６．２ 三、解答题 １７．解:(Ⅰ)由正弦定理,原式可化为 ２sinC－sinB＝sinA(sinCtanA－cosC), 即 ２sinC－sin(A＋C)＝sinA(sinCtanA－cosC), ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ２sinC－sinAcosC－cosAsinC＝sinC sin２A cosA －sinAcosC, ∵sinC≠０,∴ sin２A cosA ＋cosA＝ ２, ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 即１－cos２A＋cos２A＝ ２cosA, ∴cosA＝ ２ ２ ,又０＜A＜π,∴A＝ π ４ ． ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (Ⅱ)由余弦定理可得:a２＝b２＋c２－２bccosA＝１８＋４－１２＝１０, ∴a＝ １０, ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵点 D 在边BC 上,且CD＝２DB,∴BD＝ a ３ ＝ １０ ３ , 又cosB＝ a２＋c２－b２ ２ac ＝－ １０ １０ , １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰cosB＝ ５８ ９ ,∴AD＝ ５８ ３ ． １２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １８．(Ⅰ)证明:由顶点 F 在AC 上 投 影 为 点G,可 知,FG⊥AC．取 AC 的 中 点 为 O,连结OB,GB． 在RtΔFGC 中,FG＝ ３,CF＝ ２１ ２ ,∴CG＝ ３ ２ ． １分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 在RtΔGBO 中,OB＝ ３,OG＝ １ ２ ,∴BG＝ １３ ２ ． ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵BG２＋GF２＝FB２,∴FG⊥BG． ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 )页６共(页１第　案答学数科理三高 ∵ FG⊥AC,FG⊥GB,AC∩BG＝G∴FG⊥面 ABC．又FG⊆面FGB, ∴面FGB⊥面 ABC． ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (Ⅱ)解:∵O 是 AC 的 中 点,∴OB ⊥AC,由 (Ⅰ)知 OB⊥FG ∴OB⊥面 AFC,且 FG⊥面 ABC．以 OB 所在直线为 x 轴,OC 所在直线为y 轴,过点 O 作平面ABC 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示: A(０,－１,０),B(３,０,０),F(０,－ １ ２ ,３),E( ３ ２ ,－ １,３),BA → ＝(－ ３,－１,０), BE → ＝(－ ３ ２ ,－１,３),BF → ＝(－ ３,－ １ ２ ,３) ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设平面 ABE,ABF 的法向量分别为m,n,则 m􀅰BA → ＝０ m􀅰BE → ＝０{ , 解得:m＝(１,－ ３,－ １ ２ ), ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 n􀅰BA → ＝０ n􀅰BF → ＝０{ ,解得:n＝(１,－ ３, １ ２ ), １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 cosθ＝ m􀅰n |m||n| ＝ １５ １７ , ∴二面角E－AB－F 的余弦值为 １５ １７ ． １２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １９．解:(Ⅰ)由题意知机器运行时间不少于３个月,共有三种可能: １分􀆺􀆺􀆺 第一,取到２个一等品,对应概率为 C２４ C２６ ＝ ２ ５ , 第二,取到１个一等品,１个二等品,且二等品的使用寿命为３个月,对应概率为 C１４c１２ C２６ × １ ２ ＝ ４ １５ , 第三,取到２个二等品,且二者使用寿命均为３个月,对应概率为: C２２ C２６ × １ ２ × １ ２ ＝ １ ６０ , ∴机器可运行时间不少于３个月的概率P＝ ２ ５ ＋ ４ １５ ＋ １ ６０ ＝ ４１ ６０ ． ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (Ⅱ)若采用甲方案,则机器正常运行的时间为 X(单位:月), 则 X 的可能取值为５,６, )页６共(页２第　案答学数科理三高 P(X＝６)＝ １ ２