第30期 直接证明与间接证明-【数理报】2020-2021学年高中数学选修1-2(人教A版)

书书书 即１２＋２２＋３２＋… ＋ｎ２ ＝ １ ６ ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）． ９．解：（１）因为ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ １＋ｘ２ ，所以ｆ（２）＋ｆ( )１２ ＝ ２２ １＋２２ ＋ ( )１２ ２ １＋( )１２ ２ ＝ ２２ １＋２２ ＋ １ １＋２２ ＝１， 同理可得ｆ（３）＋ｆ( )１３ ＝１，ｆ（４）＋ｆ( ) １ ４ ＝１，猜想 ｆ（ｘ）＋ｆ１( )ｘ ＝１． （２）因为ｆ（ｘ）＋１ ｘ２ ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ １＋ｘ２ １＋１ ｘ( )２ ＝１，又由 （１）得，ｆ（ｘ）＋ｆ１( )ｘ ＝１，则 ２ｆ（２）＋２ｆ（３）＋… ＋ ２ｆ（２０１７）＋ｆ( )１２ ＋ｆ( ) １ ３ ＋… ＋ｆ １( )２０１７＋ １ ２２ ｆ（２）＋ １ ３２ ｆ（３）＋… ＋ １ ２０１７２ ｆ（２０１７） [＝ ｆ（２）＋ｆ( )１２ ＋ｆ（２） ＋１ ２２ ｆ（２ ]） [＋ ｆ（３）＋ｆ( )１３ ＋ｆ（３）＋１３２ｆ（３ ]） ＋… [ ＋ ｆ（２０１７）＋ｆ １( )２０１７＋ｆ（２０１７）＋ １ ２０１７２ ｆ（２０１７ ]） ＝ ２×２０１６＝４０３２． 第３０期１版跟踪训练参考答案 综合法与分析法 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ． ４．综合法、分析法；　５．综合法． ６．解：１ ａ ＋ １ ｂ ＋ １ ｃ ＝ａ＋ｂ＋ｃ ａ ＋ａ＋ｂ＋ｃ ｂ ＋ ａ＋ｂ＋ｃ ｃ ＝３＋ｂ ａ ＋ａ ｂ ＋ｃ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ａ ＋ａ ｃ≥ ９． 当ａ＝ｂ＝ｃ＝１ ３ 时， １ ａ ＋１ ｂ ＋１ ｃ 取得最小值９． 反证法 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．ａ，ｂ，ｃ都是奇数，真命题； ５．①ａ１－１，ａ２－２，…，ａ７－７； ②（ａ１－１）＋（ａ２－２）＋… ＋（ａ７－７）； ③（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ７）－（１＋２＋… ＋７）． ６．解：假设三个方程均无实根， 则 Δ１ ＝１６ａ ２－４（－４ａ＋３）＜０， Δ２ ＝（ａ－１） ２－４ａ２ ＜０， Δ３ ＝４ａ ２－４（－２ａ）＜０ { ， 解得 －３ ２ ＜ａ＜ １ ２ ， ａ＜－１或ａ＞ １ ３ ， －２＜ａ＜０      ． 即 －３ ２ ＜ａ＜－１． 所以当ａ≥－１或ａ≤－ ３ ２ 时，三个方程中至少有一 个方程有实根． 第３０期３版参考答案 直接证明与间接证明同步测试题 Ａ组 一、选择题 １－８　ＤＢＤＡ　ＣＣＣＣ 提示： １．根据综合法的定义可得综合法是执因导果法，是 顺推法，故 ①② 正确；根据分析法的定义可得分析法是 执果索因法，是逆推法，故③④正确；由反证法的定义可 得反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得 到假设不成立，即命题成立，属于间接证法，故⑤正确． ３．由不等式的性质可知（Ｄ）选项正确． ４．ａ＝ １ ４ 时，能推出ｘ＋ａ ｘ≥ １；但ｘ＋ａ ｘ≥ １时， 不能推出ａ＝ １ ４ ． ５．Ｐ２－Ｑ２ ＝２ ａ（ａ＋７槡 ）－２ （ａ＋３）（ａ＋４槡 ）， 又ａ（ａ＋７）－（ａ＋３）（ａ＋４）＝－１２＜０， 所以Ｐ２ ＜Ｑ２，所以Ｐ＜Ｑ． ６．（ｘ＋１ ２ｙ ） ２＋（ｙ＋１ ２ｘ ） ２ ＝ｘ２＋ｘ ｙ ＋１ ４ｙ２ ＋ｙ２＋ｙ ｘ ＋１ ４ｘ２ ＝（ｘ２＋１ ４ｘ２ ）＋（ｘ ｙ ＋ｙ ｘ ）＋（ｙ２＋１ ４ｙ２ ） ≥１＋２＋１＝４． 当且仅当ｘ＝ｙ＝槡２ ２ 时，等号成立．故选（Ｃ）． ８．因为ａ，ｂ，ｃ都是负数，故这三个数的和 ａ＋４( )ｂ ＋ ｂ＋４( )ｃ ＋ ｃ＋ ４( )ａ (＝－ －ａ＋４ )－ａ (－ －ｂ＋４ )－ｂ ( － －ｃ＋４ )－ｃ ≤－（４＋４＋４）＝－１２．当且仅当ａ＝ｂ＝ ｃ＝－２时，等号成立．故三个数ａ＋４ ｂ ，ｂ＋４ ｃ ，ｃ＋４ ａ 中， 至少有一个不大于 －４．故选（Ｃ）． 二、填空题 ９．综合法； １０．①②③； 三、解答题 １１．证明：因为ａ⊥ｂ，所以ａ·ｂ＝０． 要证 ｜ａ｜＋｜ｂ｜ ｜ａ＋ｂ｜≤槡 ２， 只需证｜ａ｜＋｜ｂ｜≤槡２｜ａ＋ｂ｜． 只需证｜ａ｜２＋２｜ａ｜｜ｂ｜＋｜ｂ｜２≤２（ａ２＋２ａ·ｂ＋ ｂ２）． 只需证｜ａ｜２＋２｜ａ｜｜ｂ｜＋｜ｂ｜２≤２ａ２＋２ｂ２， 只需证｜ａ｜２＋｜ｂ｜２－２｜ａ｜｜ｂ｜≥０， 即（｜ａ｜－｜ｂ｜）２≥０， 该式显然成立，故原不等式得证． １２．解：假设１＋ｘ ｙ ＜２和１＋ｙ ｘ ＜２都不成立，即１＋ｘ ｙ ≥２， １＋ｙ ｘ ≥ ２． 又因为ｘ，ｙ都是正数，所以１＋ｘ≥２ｙ，１＋ｙ≥２ｘ， 两式相加得到２＋（ｘ＋ｙ）≥２（ｘ＋ｙ），所以ｘ＋ｙ≤２． 与已知ｘ＋ｙ＞２矛盾，所以假设不成立， 即 １＋ｘ ｙ ＜２和１＋ｙ ｘ ＜２中至少有一个成立． １３．证明：（ａ＋ｂ＋ｃ） １ ａ ＋１ ｂ ＋１( )ｃ ＝３＋ ａ ｂ ＋ｂ( )