第33期 数系的扩充与复数的引入-【数理报】2020-2021学年高中数学选修1-2(北师大版)

书书书 得ｂ＝２，所以ｚ＝２＋２ｉ，所以ｚ·珋ｚ＝｜ｚ｜２ ＝８． 二、填空题 ９．１＋ｉ；　１０．１＋２ｉ； 提示： ９．ｉ＋ｉ３＋ｉ５＋ｉ８ ＝ｉ－ｉ＋ｉ＋１＝１＋ｉ． １０．设ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则有２（ａ＋ｂｉ）－（ａ－ｂｉ） ＝１＋６ｉ，整理得ａ＋３ｂｉ＝１＋６ｉ，解得 ａ＝１， ｂ＝２{ ，所以ｚ＝ １＋２ｉ． 三、解答题 １１．解：设ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则有 ａ２－ｂ２＋２ａｂｉ＝１２－１６ｉ， 所以 ａ２－ｂ２ ＝１２， ２ａｂ＝－１６{ ， 解得 ａ＝－４， ｂ＝２{ ， 或 ａ＝４， ｂ＝－２{ ． 所以ｚ＝－４＋２ｉ或ｚ＝４－２ｉ． １２．解：设ｚ＝ａ＋ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｒ， 因为｜ｚ｜＝１＋３ｉ－ｚ， 所以 ａ２＋ｂ槡 ２ －１－３ｉ＋ａ＋ｂｉ＝０． 则 ａ２＋ｂ槡 ２ ＋ａ－１＝０， ｂ－３＝０ { ， 解得 ａ＝－４， ｂ＝３{ ． 故ｚ＝－４＋３ｉ． 所以 （１＋ｉ）２（３＋４ｉ）２ ２ｚ ＝２ｉ（－７＋２４ｉ） ２（－４＋３ｉ） ＝２４＋７ｉ ４－３ｉ ＝３＋４ｉ． １３．解：因为ｚ＝１＋ｉ，所以ｚ２ ＝２ｉ． 所以 ｚ２＋ａｚ＋ｂ ｚ２－ｚ＋１ ＝２ｉ＋ａ＋ａｉ＋ｂ ２ｉ－１－ｉ＋１ ＝ （ａ＋２）ｉ＋（ａ＋ｂ） ｉ ＝ａ＋２－（ａ＋ｂ）ｉ＝１－ｉ． 所以 ａ＋２＝１， ａ＋ｂ＝１{ ， 解得ａ＝－１，ｂ＝２． １４．解：由题意得ｚ１ ＝ －１＋５ｉ １＋ｉ ＝２＋３ｉ， 于是｜ｚ１ －珋ｚ２｜＝｜４－ａ＋２ｉ｜＝ （４－ａ） ２＋槡 ４， ｜ｚ１｜＝槡１３． 因为｜ｚ１－珋ｚ２｜＜｜ｚ１｜， 所以 （４－ａ）２＋槡 ４＜槡１３， 即ａ２－８ａ＋７＜０，解得１＜ａ＜７． 第３４期３版参考答案 数系的扩充与复数的引入章节测试题 一、选择题 １～６　ＡＣＢＢＢＢ　　７～１２　ＢＤＤＢＣＣ 提示： １．１－ｉ １＋( )ｉ ２ [＝ （１－ｉ） ２ （１＋ｉ）（１－ｉ]） ２ ＝（－ｉ）２ ＝－１， 故选（Ａ）． ２． 根 据 复 数 的 运 算 可 知 ｚ ＝ ２－３ｉ １＋ｉ ＝ （２－３ｉ）（１－ｉ） ２ ＝－１ ２ －５ ２ ｉ，即ｚ在复平面内的坐标为 －１ ２ ，－( )５２ ，所以在第三象限． ３．因为（１＋ａｉ）２－２ｉ＝１－ａ２＋２ａｉ－２ｉ＝（１－ａ２） ＋（２ａ－２）ｉ，由题意可得 １－ａ２ ＝０， ２ａ－２≠０ { ， 解得 ａ＝－１．故 （Ｂ）正确． ４．ｚ＝ ２ｉ ｉ－１ ＋ｉ３ ＝ －２ｉ（１＋ｉ） （１－ｉ）（１＋ｉ） －ｉ＝－（ｉ－１）－ ｉ＝１－２ｉ，其共轭复数为１＋２ｉ． ６．若两个复数均为实数，则可以比较大小，故（Ａ）错 误．若复数ｚ为实数，则其虚部为０，ｚ＝ｚ；若复数ｚ＝ｚ，则 其虚部为０，ｚ为实数，所以复数 ｚ为实数的充要条件是 ｚ ＝ｚ，（Ｂ）正确．复数ｚ的实部为０，ｚ不一定是纯虚数，（Ｃ） 错误．复数ｉ＋１的共轭复数是１－ｉ，（Ｄ）错误． ７．由题意得，ｚ＝ ５ ｉ－２ ＝ ５（－ｉ－２） （ｉ－２）（－ｉ－２） ＝－２－ｉ， 所以ｚ＝－２＋ｉ，所以复数ｚ对应的点位于第二象限． ８．向量→ＯＡ对应的点为（５，３），因为→ＯＢ与→ＯＡ关于虚 轴对称，所以 →ＯＢ对应的点为（－５，３），→ＯＢ对应的复数为 －５＋３ｉ． ９．由题意得，１－槡３ｚ １＋槡３ｚ ＝ｉｚ＝ １－ｉ 槡３（１＋ｉ） ＝－槡３ ３ ｉ，所 以｜ｚ｜＝槡３ ３ ． １０．由槡２ｃｏｓθ＋１＝０得θ＝２ｋπ± ３π ４ ． 当θ＝２ｋπ＋ ３π ４ 时，２θ＝４ｋπ＋ ３π ２ ， ｓｉｎ２θ－１＝－２，符合题意； 当θ＝２ｋπ－ ３π ４ 时，２θ＝４ｋπ－ ３π ２ ， ｓｉｎ２θ－１＝０，不符合题意，舍去． １１．ｚ＝１＋ ２ｉ １－ｉ ＝１＋２ｉ（１＋ｉ） ２ ＝ｉ， 所以 １＋ｚ＋ｚ２ ＋… ＋ｚ２０１４ ＝１×（１－ｚ ２０１５ ） １－ｚ ＝ １－ｉ２０１５ １－ｉ ＝１－ｉ ４×５０３＋３ １－ｉ ＝１＋ｉ １－ｉ ＝ （１＋ｉ） ２ （１－ｉ）（１＋ｉ） ＝２ｉ ２ ＝ ｉ． １２．画出不等式组表示的平面区域，由复数减法的几 何意义可知｜ｚ－１＋２ｉ｜＝｜ｚ－（１－２ｉ）｜，其表示复平面 内，可行域中任意一点Ｚ（ｘ，ｙ）到点Ａ（１，－２）的距离，数 形结合可知，ＺＡ的最小值为点Ａ（１，－２）到直线ｘ＋ｙ＝ ０的距离，利用点到直线的距离公式算得结果为槡２ ２ ． 二、填空题 １３．０；　１４．槡２；　１５．－ｉ；　１６．－２． 提示： １３．因 为 ４＋ｂｉ １＋ｉ ＝ （４＋ｂｉ）（１－ｉ） （１＋ｉ）（１－ｉ） ＝ ４＋ｂ ２ ＋ （ｂ－４）ｉ ２ ，由题意复数 ４＋ｂｉ １＋ｉ （ｂ∈ Ｒ）的实部与虚部互为 相反数，即 ４＋ｂ ２