第28期 反证法、数学归纳法-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-2(北师大版)

书书书 高中数学北师大（选修２－２）２０２１年１月 第２７～３０期参考答案 ２７期１版跟踪训练参考答案 归纳推理 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ． ４．ａｋ－１＋ａｋ＋… ＋ａ２ｋ－２． ５．ｆ（ｘ）＝ ２ ｘ＋１ ． ６．解：（１）因为ａｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１） ， 所以ａ１ ＝ １ ２ ，ａ２ ＝ １ ６ ，ａ３ ＝ １ １２ ． 所以Ｓ１ ＝ １ ２ ，Ｓ２ ＝ ２ ３ ，Ｓ３ ＝ ３ ４ ． （２）通过Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的值，猜测Ｓｎ ＝ ｎ ｎ＋１ ． 类比推理 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ． ４．正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值． ５．Ｓ１ｃｏｓα＋Ｓ２ｃｏｓβ＋Ｓ３ｃｏｓγ． ６．解：（１）因为Ｖ球 ＝ ４ ３π Ｒ３， 又 ４ ３π Ｒ( )３ ′＝４πＲ２， 故类似于①的式子可写为 ４ ３π Ｒ( )３ ′＝４πＲ２． （２）用语言叙述为：“球的体积函数的导数等于球的 表面积函数．” ２７期３版参考答案 归纳推理与类比推理同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＢＡＢ　ＢＣＣＡ 提示： ３．因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的 平方都大于０”是错误的，即大前提错误，故选（Ａ）． ４．只有（Ｂ）选项是类比推理． ５．根据（１），（２），（３），（４）知，Ａ对应竖线，Ｂ对应矩 形，Ｃ对应横线，Ｄ对应圆，由此可知选（Ｂ）． ７．根据题意 ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝２×１ １＋２ ＝ ２ ３ ，ｆ（３）＝ ２×２ ３ ２ ３ ＋２ ＝２ ４ ，ｆ（４）＝ ２×１ ２ １ ２ ＋２ ＝２ ５ ，…，可以归纳ｆ（ｘ）为 分数，且其分子为２不变，分母为ｘ＋１，即ｆ（ｘ）＝ ２ ｘ＋１ ． ８．由题意结合所给的例子类比推理可得： ３＋２槡 ｘ ＝ｘ（ｘ≥０）， 整理得：（ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，则ｘ＝３， 即 ３＋２ ３＋２槡槡槡 … ＝３． 二、填空题 ９．ｎ＋（ｎ＋１）＋… ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２； １０．８９． 提示： １０．由规律得ａ＝９２－１，ｂ＝９ａ＋ｂ＝８９． 三、解答题 １１．解：当ｎ＝２时，交点个数ｆ（２）＝１； 当ｎ＝３时，交点个数ｆ（３）＝３； 当ｎ＝４时，交点个数ｆ（４）＝６； 当ｎ＝５时，交点个数ｆ（５）＝１０． 归纳猜想：ｆ（ｎ）＝ １ ２ ｎ（ｎ－１）（ｎ≥２）． １２．解：一般形式：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋６０°）＋ｓｉｎ２（α＋ １２０°）＝ ３ ２ ． 证明：左边 ＝１－ｃｏｓ２α ２ ＋１－ｃｏｓ（２α＋１２０°） ２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋２４０°） ２ ＝３ ２ －１ ２ ［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ（２α＋１２０°） ＋ｃｏｓ（２α＋２４０°）］＝ ３ ２ －１ ２ ［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２αｃｏｓ１２０°－ ｓｉｎ２αｓｉｎ１２０°＋ｃｏｓ２αｃｏｓ２４０°－ｓｉｎ２αｓｉｎ２４０°］＝ ３ ２ － [１２ ｃｏｓ２α－ １２ｃｏｓ２α－槡３２ｓｉｎ２α－ １２ｃｏｓ２α＋ 槡３ ２ ｓｉｎ２ ]α ＝ ３２ ＝右边 ( ． 将一般形式写成ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋ ６０°）＝３ ２ ，ｓｉｎ２（α－１２０°）＋ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＝ ３ ２ )等均正确 １３．证明：（１）记Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ，Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ１，Ｓ△ＯＡＣ ＝Ｓ２， Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ３，则Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３， 所以１＝ Ｓ１ Ｓ ＋ Ｓ２ Ｓ ＋ Ｓ３ Ｓ ． 因为△ＡＢＣ与△ＯＢＣ同底ＢＣ， 故 Ｓ１ Ｓ ＝ＯＡ′ ＡＡ′ ， 同理， Ｓ２ Ｓ ＝ＯＢ′ ＢＢ′ ， Ｓ３ Ｓ ＝ＯＣ′ ＣＣ′ ，所以 ＯＡ′ ＡＡ′ ＋ＯＢ′ ＢＢ′ ＋ＯＣ′ ＣＣ′ ＝１． （２）推广：设Ｏ是四面体ＡＢＣＤ内一点，延长ＡＯ，ＢＯ， ＣＯ，ＤＯ分别交对面于Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 则 ＯＡ′ ＡＡ′ ＋ＯＢ′ ＢＢ′ ＋ＯＣ′ ＣＣ′ ＋ＯＤ′ ＤＤ′ ＝１． 证明：仿（１），点Ｏ将四面体Ａ－ＢＣＤ分为四个小四 面体Ｏ－ＢＣＤ，Ｏ－ＡＣＤ，Ｏ－ＡＢＤ，Ｏ－ＡＢＣ． 所以ＶＡ－ＢＣＤ ＝ＶＯ－ＢＣＤ ＋ＶＯ－ＡＣＤ ＋ＶＯ－ＡＢＤ ＋ＶＯ－ＡＢＣ， 所以１＝ ＶＯ－ＢＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＢＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＢＣ ＶＡ－ＢＣＤ ， 因为四面体Ｏ－ＢＣＤ与四面体Ａ－ＢＣＤ同底△ＢＣＤ， 所以 ＶＯ－ＢＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＝ＯＡ′ ＡＡ′ ， 同理，有其他对应比相同，从而结论成立． Ｂ组 一、选择题 １～４　ＢＣＣＢ 提示： １．由ａ１ ＝１，ａ２ ＝５，ａｎ＋２ ＝ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ＋）可得 数列｛ａｎ｝中的各项分别为：１，５，４，－１，－５，－４，１，５，…， 即数列每六项一循环，所以可推知ａ２０２０ ＝－１． ２．７５