第一章 §4 数学归纳法-2020-2021学年高中数学选修2-2【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 §4　数学归纳法 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [课标要求] 1.了解数学归纳法原理.(难点) 2.会应用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题.(重点) 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 数学归纳法 [要点梳理] 数学归纳法是用来证明某些与_______有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤如下： (1)验证：_______________________________； (2)在假设_______________________________的前提下，推出______________________； 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 正整数n 当n取第一个值n0时，命题成立 当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立 当n＝k＋1时，命题成立 课前预习案·素养养成 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [名师解惑] 数学归纳法的两个步骤之间的关系 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [即时应用] 1.命题P(n)满足：若n＝k(k∈N＋)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是 A.若P(6)成立，则P(5)成立 B.若P(6)成立，则P(4)成立 C.若P(4)成立，则P(6)成立 D.对所有正整数n，P(n)都成立 解析　由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立，所以P(4)成立，则P(6)成立. 答案　C 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 2.如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立. 解析　因为要用数学归纳法证明命题p(n)对所有正偶数n都成立，故首先要验证最小的正偶数，即n＝2. 答案　2 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 课堂探究案·素养提升 题型一　用数学归纳法证明恒等式 　已知n∈N＋，证明：1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n). 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [思路导引]　 [自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，右边＝eq \f(1,2)，等式成立. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 (2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即 1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k). 则当n＝k＋1时， 左边＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2（k＋1）－1)－eq \f(1,2（k＋1）)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2（k＋1）) ＝eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)－\f(1,2（k＋1）))) ＝eq \f(1,（k＋1）＋1)＋eq \f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq \f(1,（k＋1）＋k)＋eq \f(1,2（k＋1）)＝右边；所以当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)(2)知对一切n∈N＋等式都成立. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [方法技巧] 利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证