专题十五 二次函数与面积问题-2021年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题十五 二次函数与面积问题 1．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值． 2．（2020•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m． ①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围； ②是否存在点P，使S△A′MNS△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由． 3．如图抛物线经过点，点，且． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点． （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 5． 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方时，求面积的最大值． （3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 6．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 7．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若PC∥AB，求点P的坐标； （3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 专题十五 二次函数与面积问题 1．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解； （3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KNON，可得MNON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【解析】（1）∵直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A（4，0），点B（0，﹣2）， 设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a， ∴a， ∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2； （2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P， ∵OP∥AB， ∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形， ∴S△PAB＝S△ABO， ∵OP∥AB， ∴直线PO的解析式为yx， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P（2+2，1）或（2﹣2，1）； 当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，