热点专题14 数列+无穷等比数列前各项和（第18题热点3）-备战2021年高考数学二轮复习热点考题精华篇（上海专用）

热点专题14 数列+无穷等比数列前各项和（第18题热点3） 一、解答题 1．首项为的无穷等比数列所有项的和为1，为的前n项和，又，常数，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若是递减数列，求t的最小值. 2．已知数列的前n项之和满足. （1）求证：是公比为的等比数列； （2）求适合的r的取值范围. 3．已知无穷等比数列的首项、公比均为. （1）试求无穷等比子数列各项的和； （2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 4．已知数列的首项，它的前n项之和组成的数列是一个公比为的等比数列. （1）求证：，…是一个等比数列； （2）设，求，（用表示） 5．无穷数列满足. （1）求、、的值； （2）求数列的通项公式及其各项的和. 6．数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，且，求证：是等比数列； （3）求的值. 7．已知数列，，前项和为. （1）若为等差数列，且，求； （2）若为等比数列，且，求公比的取值范围. 8．数列中，，，数列是公比为的等比数列. （1）求使成立的的取值范围； （2）若，求的表达式； （3）若，求. 9．已知数列满足：对于，都有 （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求； （4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 10．设数列的前n项和是，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若且数列也为等差数列，试求的的值； （3）设，且恒成立，求证：存在唯一的正整数n，使得不等式成立. 11．等差数列的前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合； （3）记(为大于0的常数)，求证： 12．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足（）. （1）求数列的通项公式； （2）设（），试求的值； （3）是否存在大于2的正整数、，使得？若存在，求出所有符合条件的、，若不存在，请说明理由. 13．数列满足，且（）． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的最大值与最小值． 14．已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，，，数列满足，. （1）求，； （2）求； （3）设有穷数列，的前项和为，是否存在，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 15．已知数列满足，且成等差数列. （Ⅰ）求的值和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 16．已知常数，数列满足，. （1）若，，求的值； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和； （3）若数列中存在三项、、（、、且）依次成等差数列，求的取值范围. 17．已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（，为常数）求数列的前项和的最值． 18．求下列各式极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 19．已知数列，与函数，是首项、公差的等差数列，数列满足：. （1）若，，求的前n项和； （2）若，，，问n取何值时，的值最大？ 20．已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 21．已知等差数列中，，，数列的前项和. （1）求，； （2）若，求的前项和. 22．已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 23．已知数列的前项和为，其中为常数． （1）证明：； （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由． 24．设数列的首项，且，记，． （1）求； （2）判断是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求． 25．已知数列的前项和为，把满足条件（对任意的）的所有数列构成的集合记为. （1）若数列的通项为，判断是否属于，并说明理由； （2）若数列的通项为，判断是否属于，并说明理由； （3）若数列是等差数列，且，求的取值范围. 26．若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：； ②等比数列：； （2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是. （3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围. 27．已知数列的前项和为，且满足，，设，. （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）若，，求实数的最小值； （Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由. 28．设数列对任意都有（其中、、是常数） . （Ⅰ）当，，时，求； （Ⅱ）当，，时，若，，求数列的通项公式； （