精做04 立体几何-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做04立体几何 一、空间中线面位置关系的证明 (一)平行关系的证明 【例1】（2021·全国高三开学考试（文））在四棱锥中，平面，.四边形为梯形，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【详解】 （1）证明：连接交于，连接， 因为， 所以∽，所以，所以， 因为，所以 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）过作于， 因为，， 所以 设三棱锥的高为，三棱锥的高为， 则 ， ， . (1)证明线线平行,可以运用平行公理、中位线定理,也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形,或者运用线面平行的性质定理来证明； (2)证明直线和平面平行,通常有两种方法：一是利用线面平行的判定定理,只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；二是由面面平行的性质：如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第一种方法是常用方法,一般需要连接特殊点、画辅助线,再证明线线平行,从而得到线面平行．第二种方法常用于非特殊位置的情形． (3)证明面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 【对点训练1】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（文））在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，，分别是， 的中点. （1）求证:平面 （2）求证:平面 （3）求三棱锥的体积. (二)垂直关系的证明 【例2】（2021·河南高三月考（文））如图.在三棱锥中，为正三角形，为的重心，，，. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.说明理由. 【详解】 （1）设，则，在中，由余弦定理，得. 因为， 所以. 因为，， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）如图所示： 取的中点，连接，，则点在上， 在平面内过点作的平行线交于点. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为为的重心， 所以， 又， 所以， 所以在棱上存在点，使得直线平面，此时. (1)判断(证明)线线垂直的方法 ①根据定义； ②如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c； ③如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c； ④向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． (2)证明直线和平面垂直的常用方法 ① 利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α； ②a∥b,a⊥α⇒b⊥α； ③利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β； ④利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ. (3)证明面面垂直的主要方法 ① 利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β； ② 用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角； ③ 如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ. (4)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (5)证明证明线面位置关系要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． 【对点训练2】（2021·河南高三其他模拟（文））在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上． （1）求证：平面； （2）求多面体的体积． (三)折叠问题与探索性问题 【例3】（2021·安徽高三开学考试（文））在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点 （1）在折后的三棱锥中，证明； （2）若，且折后的三棱锥的表面积是，求三棱锥的体积. 【详解】 （1）折后的三棱锥P一DCE如图所示.取线段的中点， 连接在中，是的中点， 所以 在中，是的中点， 所以而， 所以平面而平面，所以. （2）当时，三棱锥是正四面体，设其棱长为. 由解得. 则 故三棱锥的体积为 (1)折叠问题分析求解原则：  ①折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；  ②折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变； ③抓住折叠前后的变量与不变量,画出平面图形和空间直观图,对比分析找出其数量关系线面位置关系中的(1) (2)探索性问题,主要有两大类,一类存在判断型问题.存在型问题是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来,可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,我们可以先假设结论存在,若推论无矛盾,则结论确定存在；若推证出矛盾,则结论不存在.另一类是给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者寻找充分条件并加