精做04 立体几何-备战2021年高考数学（理）大题精做

精做04立体几何 一、空间中线面位置关系的证明 (一)平行关系的证明 【例1】（2021·江西高三其他模拟（理））如图，是的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点C，，D是的中点，与交于点E，F是上的一个动点． （1）若平面，求的值； （2）若F为的中点，，求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】 解：（1）因为平面，所以， 所以．因为D，O分别为的中点， 所以点E为的重心，所以，即 （2）如图所示建立空间直角坐标系． ∴． ∵． ∴ 设平面的法向量为 ，∴令，∴ 直线与平面所成角的余弦值为． (1)证明线线平行,可以运用平行公理、中位线定理,也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形,或者运用线面平行的性质定理来证明； (2)证明直线和平面平行,通常有两种方法：一是利用线面平行的判定定理,只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；二是由面面平行的性质：如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第一种方法是常用方法,一般需要连接特殊点、画辅助线,再证明线线平行,从而得到线面平行．第二种方法常用于非特殊位置的情形． (3)证明面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 【对点训练1】（2021·河南高三月考（理））如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，点是棱上的动点(不含端点)，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求二面角的余弦值. (二)垂直关系的证明 【例2】（2021·全国高三月考（理））已知三棱锥中，，三棱锥中，，为全等的等边三角形，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 （1）设的中点为，连接，在上取点，使得，连接，. 因为，， 所以，，是全等的等腰直角三角形， ，，， 所以平面. 又平面，所以. 因为为等边三角形，所以. 又，所以平面， 又平面，所以. 同理，，， 所以平面. 因为，， 所以平面，且平面， 所以. 同理，，， 所以平面， 所以，，三点共线，所以平面. （2）由（1）可知平面，，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则即解得 令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. (1)判断(证明)线线垂直的方法 ①根据定义； ②如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c； ③如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c； ④向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． (2)证明直线和平面垂直的常用方法 ① 利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α； ②a∥b,a⊥α⇒b⊥α； ③利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β； ④利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ. (3)证明面面垂直的主要方法 ① 利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β； ② 用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角； ③ 如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ. (4)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (5)证明证明线面位置关系要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． 【对点训练2】（2021·广东湛江市·高三一模）如图，平面ABCD⊥平面ABE，AD//BC，BC⊥AB，AB=BC=2AE=2，F为CE上一点，且BF⊥平面ACE. （1）证明：AE⊥平面BCE； （2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60°，求AD. (三)折叠问题与探索性问题 【例3】（2021·安徽高三一模（理））如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=，且BCCD，以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合). （1）求证：EFBD； （2）若平面EBD平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60°，求二面角A-BE-D的余弦值. 【详解】 （1）如图所示，取的中点，连接和， 由题意知和均为等腰三角形，且， 故又因为所以平面， 又因为平面所以 （2）由（1）知，，又因为平面平面， 平面平面所以平面， 直线与平面所成角为，可得， 因为，为中点，所以， 所以，所以， 即为等边三角形，为等边的中心， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向