专题15 过端点向中线作垂线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题15 过端点向中线作垂线问题 【规律总结】 【典例分析】 例1．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】 如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【好题演练】 一、解答题 1．（2019·全国九年级专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】 如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 2．（2019·全国九年级专题练习）如图，是的中线，于.于， （1）求证：；（2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】 先证明DE=DF； (1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论； (2)， ，可得，继而可得答案. 【详解】 ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD， 又∠BDE＝CDF ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE=DF； (1)在中，，即，① 在中，， 即，② ①+②得，， 即； (2)，①，，② ①+②得，， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键. 3．（2019·全国九年级专题练习）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE. 求证：BF＝AC． 【答案】证明见解析 【分析】 方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论． 方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论. 【详解】 方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC 方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、， 则. ，， ， . ，， ，， 又， ， . 【点睛】 本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 专题15 过端点向中线作垂线问题 【规律总结】 【典例分析】 例1．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】 如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【好题演练】 一、解答题 1．（2019·全国九年级专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：. 2．（2019·全国九年级专题练习）如图，是的中线，于.于， （1）求证：；（2）若，，求的长． 3．（2019·全国九年级专题练习）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE. 求证：BF＝AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $