专题16 函数的基本性质与基本初等函数-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题16 函数的基本性质与基本初等函数 【要点提炼】 1.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. (3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数. ②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数. ③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数. ④若f(x＋a)＝－f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或f（x＋a）＝\f(1,f（x）)))，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数. 易错提醒　错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. 3.指数式与对数式的七个运算公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM； (6)alogaN＝N； (7)logaN＝eq \f(logbN,logba)(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0). 4.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数. 5.函数的零点问题 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 6.应用函数模型解决实际问题的一般程序 eq \f(读题,文字语言)⇒eq \f(建模,数学语言)⇒eq \f(求解,数学应用)⇒eq \f(反馈,检验作答) 【方法指导】 一、1.(1)求给出解析式的函数的定义域:由于定义域是使该解析式有意义的自变量的取值集合,故只需构建不等式(组)求解即可. (2)求抽象函数的定义域:根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则. 二、利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解；函数单调性的应用:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性. 三、1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的取值范围. 2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件. 命题点一： 函数及其表示 【典例1】（2021·安徽六安市·高三一模（理））已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出集合 后可得 【详解】 因为 ， ，所以 ． 【方法总结】 求给出解析式的函数的定义域:由于定义域是使该解析式有意义的自变量的取值集合,故只需构建不等式(组)求解即可. 【拓展练习】 2．（2021·江苏高三月考）已知集合 ， ，则集合 （ ） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】 求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 . 【详解】 ， ， 因此， 或 . 3．（2021·四川高三月考（文））已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接根据