专题16 等腰三角形的性质-2020-2021学年八年级数学下学期尖子生培优讲义（全国）

专题16 等腰三角形的性质 阅读与思考 等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论． ⑴ 图1中，，，． ⑵ 图2中，只要下述四个条件： ①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立． ( B C A D 图1 A D B C 1 2 图2 ) 例题与求解 【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE， 则∠A=___________． （五城市联赛试题） 解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式． A B C D E 【例2】如图，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF． （安徽省竞赛试题） 解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线． A B C D E F 【例3】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线． （北京市竞赛试题） 解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形． A E B C D 【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数． （北京市竞赛试题） B C M A 解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为