精做06 函数与导数-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做06函数与导数 一、导数的几何意义及应用 【例1】（2021. 辽宁省丹东市高三下学期质量监测）已知函数,曲线在点处的切线方程为. （1）求,的值； （2）证明：. 【解析】（1）由切线方程可得,. 定义域为,. 所以,,解得,. （2）等价于. 设,则. 设, 则函数在单调递增, 因为,, 所以存在唯一,使. 因为符号与符号相同, 所以当时,, 当时,. 故在单调递减,在单调递增. 所以当时,取得最小值, 由得,从而, 故. 所以. 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可． (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 【对点训练1】（2021. 山东省潍坊市高三一模）已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过坐标原点,求实数； （2）当时,判断函数在上的零点个数,并说明理由． 【解析】（1）, 所以在点处的切线方程为, 所以,即； （2）因为, 所以, 所以可转化为, 设, 则 当时,, 所以在区间上单调递增． 当时,设, 此时, 所以在时单调递增, 又,, 所以存在使得且时单调递减, 时单调递增． 综上,对于连续函数,在时,单调递减, 在时,单调递增． 又因为, 所以当,即时,函数有唯一零点在区间上, 当,即时,函数在区间上无零点, 综上可知,当时,函数在上有个零点； 当时,函数在上没有零点． 二、函数单调性的讨论 【例2】（2021. 河南省高三下学期高考适应性考试）已知函数. （1）当时,讨论函数的单调性； （2）当时,关于的不等式有解,求的最大值. 【解析】（1）函数的定义域为, . , . 当时,,当时,, 函数在上单调递增,在上单调递减. （2）设, 则. 当时,有两个根,不妨令, 又, . 由题意舍去. 当时,,当时,. 在上单调递增,在上单调递减. 存在使成立, ,即. 又, . , . . . 令, 则. 函数在上单调递增. , 即得最大值为. 1.利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数的定义域；求导函数,由（或）解出相应的的范围,对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数,解方程,利用的根将函数的定义域分为若干个子区间,在这些子区间上讨论的正负,由符号确定在子区间上的单调性. 2.研究含参数的函数的单调性： （1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行,切记不要忽略定义域的限制； （2）利用导数求函数单调性,大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论； （3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时,依据根的大小进行分类讨论； （4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 3.用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 【对点训练2】（2021. 浙江省杭州高三3月考试）已知函数. （1）当时,求函数的单调递增区间； （2）记函数的图象为曲线,设点、是曲线上两个不同点,如果曲线上存在,使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线,说明理由. （3）当,时,关于的不等式恒成立,求实数的最大值. 【解析】（1）函数的定义域为, . 令可得或,,则. 由,可得或. 则的单调递增区间为和； （2）假设函数存在“中值相依切线”,, , 由题设条件,有,即,即, 不妨设,设,可得, 构造函数,其中,则, 所以,函数在区间上为增函数,则, 即方程在上无解,因此,函数不存在“中值相依切线”； （3）当时,,即恒成立, 时显然恒成立,只需考虑, 即恒成立,即, 令,则,,则,, 当时,,所以,函数在上为增函数, 所以,,即,则恒成立. 令,其中,则,单调递减, 则,则. 综上所述,的最大值为. 三、函数的极值点与极值 【例3】（2021. 东北三省三校（高三下学期第一次联考）已知函数. （1）求函数的极值； （2）若 在上有且只有一个零点,求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为 当时,函数无极值 当时, 若,令,则；令,则 所以函数在单调递增,在单调递减, 所以的极小值为,无极大值 若,令,则；令,则 所以函数在单调递增,在单调递减, 所以的极大值为,无极小值 （2）令, 当时