类型四 面积平分问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型四面积平分问题 1、）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在中的四条边上，请你设计两种方案： 方案（一）：如图①所示，两个出入口 以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 方案（二）：如图②所示，一个出入口 已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法 【解答】方案（1） 画法1： 画法2： 画法3： （1）过F作FH∥AD交 （1）过F作FH∥AB交 （1）在AD上取一点 AD于点H AD于点H H，使DH=CF （2）在DC上任取一点G （2）过E作EG∥AD交 （2）在CD上任取 连接EF、FG、GH、 DC于点G 一点G HE，则四边形EFGH 连接EF、FG、GH、 连接EF、FG、GH、 就是所要画的四边形； HE，则四边形EFGH HE，则四边形EFGH 就是所要画的四边形 就是所要画的四边形 （画图正确得4分，简要说明画法得1分） 方案（2） 画法：（1）过M点作MP∥AB交 AD于点P， （2）在AB上取一点Q，连接PQ， （3）过M作MN∥PQ交DC于点N， 连接QM、PN、MN 2、问题发现： （1）在我们学习过的几何图形里，有很多图形的面积和周长能同时被某条直线平分，如图1，⊙O的周长和面积能被过圆心的任意一条直线同时平分.请你在图2和图3中分别做两条不同的直线将矩形ABCD和等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，并简要说明作法. 问题解决 如图4，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由. 【解答】（1）如图 (语言描述略) （2）存在.设BE=x, 由已知条件得： 梯形周长为24，高4，面积为28。 过点F作FG⊥BC于G 过点A作AK⊥BC于K 则可得：FG= EQ \F(12－x,5) ×4 ∴S△BEF= EQ \F(1,2) BE·FG=－ EQ \F(2,5) x2+ EQ \F(24,5) x（7≤x≤10） 由题意可得：－ EQ \F(2,5) x2+ EQ \F(24,5) x=14 得x1=7 x2=5（舍去） ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7 （3）不存在 假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2 则有－ EQ \F(2,5) x2+ EQ \F(16,5) x= EQ \F(28,3) 无解 3、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分) （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分) （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的 ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分) 【答案】解：（1）（6，4）；（ ）.（其中写对B点得1分） （2）∵S△OMP = ×OM× ， ∴S = ×（6 -t）× = +2t． ＝ （0 < t <6）． ∴当 时，S有最大值． （3）存在． 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为： ． 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为： ， 解方程组 得 ∴直线ON与MT的交点R的坐标为 ． ∵S△OCN ＝ ×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． ① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1