类型三 旋转问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型三旋转问题 1. 如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 π？ 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3， ∴顶点O运动过程中经过的路程为 . 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 =1+π. 正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为 . 问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为 ∴ π=20× π+ π. ∴正方形纸片OABC经过了81次旋转. 2. 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F。 当绕B点旋转到时，（如图（1），易证：。 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 （1） （2） （3） 【观察与思考】由背景，可知和具有绕点B旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。 解：在图（1）和图（2）中均有，理由如下； 如图（1`）和图（2`），作，交DC延长线于点G（这时即有绕点B 顺时针旋转120°重合于中， （1`） （2`） （3`） 在和中， 。 。 在和中，公用。 ，。 对于（3）的情况，有结论：。理由是： 如图（3`），作交AD于点G，与情况（1`）、（2`）类似地可证明 ，得又可有，可知 由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。 由以上三个例子可以看出： 许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。 （2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法 3. 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分） （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分） 【答案】解：（1）CD=BE．理由如下:　 1分 ∵△ABC和△ADE为等边三角形 ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC， ∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD 3分 ∴CD=BE 4分 （2）△AMN是等边三角形．理由如下： 5分 ∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点， ∴BM= ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． 6分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM