专题19 函数与导数的综合应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题19 函数与导数的综合应用 【要点提炼】 1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1<x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： a的符号 零点个数 充要条件 a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值) 一个 f(x1)＜0或f(x2)>0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0 a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值) 一个 f(x1)>0或f(x2)＜0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0 3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I). ②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I). ③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. ④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. 4.(1)判断含x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝eln x0及ex≥x＋1，ln x≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号. (2)会对复杂函数式或导数式(如含x，ln x，ex的混合式)变形，如拆分为两个函数处理，好处是避免由于式子的复杂导致的思路无法开展. 【方法指导】 1、 证明不等式的基本方法:(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b);②∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似的结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<0. 2、 1.求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤:第一步,将问题转化为方程根的问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步,利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;第三步,结合图象求解. 根据函数零点情况求参数范围:(1)要注意端点的取舍;(2)选择恰当的分类标准进行讨论. 3、“对任意x1∈D,总存在x2∈E,使f(x1)≥g(x2)”等价于“f(x)在区间D上的最小值大于或等于g(x)在区间E上的最小值”. 命题点一： 导数与不等式的综合 考向一 利用导数证明不等式 【典例1】（2021·江苏高三月考）已知函数，. （1）证明：当时，函数有唯一的极大值点； （2）当时，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立； （2）构造函数，利用导数证得，即可证得结论成立. 【详解】 （1）当时，，， 因为，所以， 令，，所以在区间上单调递减. ，， 所以，存在，使得， 且当时，；当时，. 所以函数的递增区间是，递减区间是. 所以函数存在唯一的极大值点； （2）当时，令，则， ， 所以，函数在区间上单调递减， 因为，， 所以，存在，使得，即， 且当时，；当时，. 所以函数在区间上是递增函数，在区间上是递减函数. ，， 因为，只需证即可， ， 所以，函数在区间上是增函数，，即. 【方法总结】 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【拓展练习】 1．（2021·四川高三月考（理））已知函数 （1）设是的导函数，讨