专题18 导数及其应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题18 导数及其应用 【要点提炼】 1、 利用导数研究切线：掌握导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上． 2、利用导数确定函数的单调性：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况． 3、利用导数研究函数的极值和最值：由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点． 4、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【方法指导】 1、已知切点(x0 , y0)求切线方程：在某点处的切线方程，该点为切点。求导：利用求导公式进行求导f ’(x)；求k: 将切点的横坐标x0代入f ’(x0)=k；求线：利用点斜式y-y0=f ’(x0)(x-x0) 注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。 未知切点求切线方程：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程。（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线；①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点；（2）该点(x1 , y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路：①设点：设切点(x0，y0)；②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0；③求k: 利用k＝f′(x0)； ④求线：利用点斜式y-y0=f ’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f ’(x0)(x-x1) 2、导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法：①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 3、利用导数研究函数的极值、最值：(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 命题点一： 导数的应用 考向一 利用导数研究切线 【典例1】（2021·湖南永州市·高三二模）曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出导函数，根据切线的和导函数的关系求解即可； 【详解】 解：曲线 ， ，切点为 ， 所以切线 的斜率 ， 又直线 过原点，所以 ， 得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ． 故选： ． 【方法总结】 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【拓展练习】 1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））若直线 ： 是曲线 的切线，则实数 （ ） A．-4 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】 设切点 ，写出切线方程 ，从而可得 ，代入切线方程即可求解. 【详解】 设 ： 与曲线 相切于点 ， 则 ， 所以的方程为 ， 则 ，故 ，解得 ， 则直线 ： ，所以 ， 故选：A. 3．（2021·江苏常州市·高三开学考试）设函数 ，若函数 的图象在点(1， )处的切线方程为y=x，则函数 的增区间为（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．( ， ) D．( ，1) 【答案】C 【分析】 由 的图象在点(1， )处的切线方程为y=x，，得到 求出a、b，直接利用导数求出增