专题1.3 中心对称图形—平行四边形章末重难点题型-2020-2021学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题1.3 中心对称图形—平行四边形章末重难点题型 【苏科版】 【考点1 利用旋转的性质求角度】 【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【例1】（2020•大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　） A．50° B．70° C．110° D．120° 【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上， ∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB， ∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40°）＝70°， ∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式1-1】（2020春•织金县期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠a的度数是（　　） A．50° B．60° C．40° D．30° 【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于70°，则可以利用三角形内角和定理列出等式进行求解． 【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°， ∴∠A＝∠C，∠AOC＝70°， ∴∠DOC＝70°﹣α， ∵∠A＝2∠D＝100°， ∴∠D＝50°， ∵∠C+∠D+∠DOC＝180°， ∴100°+50°+70°﹣α＝180°，解得α＝40°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键． 【变式1-2】（2020•菏泽）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　） A． B．α C．α D．180°﹣α 【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE+∠ADE＝180°， ∴∠BAD+∠BED＝180°， ∵∠BAD＝α， ∴∠BED＝180°﹣α． 故选：D． 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】（2020•雨花区模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（　　） A．80 B．80或120 C．60或120 D．80或100 【分析】分类讨论：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，根据旋转的性质得∠BDB′＝m，DB′＝DB，则∠1＝∠B＝50°，然后根据三角形内角和定理可计算出m＝80°；当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，根据旋转的性质得∠BDB′＝m，DB′＝DB，由BD＝2CD得到DB′＝2CD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，所以∠BDB′＝120°，即m＝120°． 【解答】解：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1， ∴∠BDB′＝m，DB′＝DB， ∴∠1＝∠B＝50°， ∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°， 即m＝80°； 当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2， ∴∠BDB′＝m，DB′＝DB， ∵BD＝2CD， ∴DB′＝2CD， ∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°， ∴∠BDB′＝180°﹣∠B′D