2021届新高考3月（燕博园）联考高三综合能力测试（CAT）(一）数学试题广东卷 （word版，含详解及评分标准）

1 202103 全国新高考一模考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 CBCDBC AD 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9.ABC 10.ABD 11.CD 12.BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 3 5 14. 4 1 3 n  15.3 3,36π （第一空 2 分，第二空 3 分） 16.54 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 17．（1）证明： 因为 11 2n na a   （ 2,3,n  ），则 12 1n na a   ……1 分 所以 11 1 1 1 2 2 ln( 1) ln( 1) ln ln ln 2 1 1 n n n n n n a a a a a a               ， 2,3,n  .…4 分 所以数列{ln( 1)}na  是以首项为 ln2 ，公差为 ln2 的等差数列。……5 分 （2）由（1）得 1ln( 1) ln( 1) ( 1)ln 2 ln(2 ) n na a n      ，……7 分 则 2 1nna   .……8 分 所以 12(1 2 ) 2 2 1 2 n n nS n n       ……10 分 18．解： 选择①② 因为 AB AC ， 6AB  ， 1 cos 3 BAC   ， 所以 ( , ) 2 BAC     ， B C   ， 2 2 2 2 cos 96BC AB AC AB AC BAC       . 所以 4 6BC  ， 1 cos 3 sin sin 2 3 BAC C B      . ……5 分 2 因为 =90DAC ， 所以 1 sin sin( ) cos 32 BAD BAC BAC         .……7 分 在 Rt ACD 中， 2 6 3 6 cos 1 sin AC DC C C     .……9 分 所以 6BD BC CD   .……10 分 所以 ABD 的面积为 1 sin 3 2 2 BD AB B   .……12 分 选择①③ 因为 =90DAC ， AB AC ， 6AB  ， 3 6CD  ， 所以 6 cos cos 3 AC B C DC    .……5 分 所以 2 2 2 2 cosAB BC AC BC AC C     ，即 4 6BC  . ……9 分 所以 6BD BC CD   .……10 分 所以 ABD 的面积为 1 sin 3 2 2 BD AB B   .……12 分 选择②③ 因为 AB AC ， 1 cos 3 BAC   ， 所以 1 cos 3 sin sin 2 3 BAC C B      . ……5 分 因为 =90DAC ， 3 6CD  ， 所以 2cos 3 6 1 sin 6AC DC C C      .……7 分 所以 2 2 2 cos 4 6BC AB AC AB AC BAC       .……9 分 所以 6BD BC CD   .……10 分 所以 ABD 的面积为 1 sin 3 2 2 BD AB B   .……12 分 19.（1）证明： 在直角梯形 AEFB 中，AE EF ，且直角梯形 1 1D EFC 是通过直角梯形 AEFB 以 直线 EF 为轴旋转而得，……1 分 所以 1D E EF . 所以 BF EF , 1C F EF .……3 分 3 又 1BF C F F ，所以 EF  平面 1BC F .……4 分 又 EF  平面 1 1C D EF ，所以平面 1 1C D EF  平面 1BC F .……5 分 （2）解： 由（1）可知 BF EF , 1C F EF . 因为二面角 1C EF B  为 3  ， 所以 1 3 C FB    .……6 分 过点 F 作平面 AEFB 的垂线，如图，建立空间直角坐标系 F xyz . 由 2 4BF EF AE   可得： (4,0,0)E ， 1(0,2,2 3)C ， (0,4,0)B ， (