高中数学选修2-3第3章备课综合：《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》（课件+教案+导学案+评估训练,9份）

§3.2 回归分析(1) 教学目标 （1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因； （2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境 1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了 次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值． 时刻 /s 位置观测值 /cm 根据《数学 （必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示： 从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间 与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式， 可以得到线性回归方为 ，所以当 时，由线性回归方程可以估计其位置值为 2．问题：在时刻 时，质点的运动位置一定是 吗？ 二．学生活动 思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映 与 之间的关系， 的值不能由 完全确定，它们之间是统计相关关系， 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学 1．线性回归模型的定义： 我们将用于估计 值的线性函数 作为确定性函数； 的实际值与估计值之间的误差记为 ，称之为随机误差； 将 称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有： ①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差． （2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计 ， ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值： 对于问题②，设有 对观测数据 EMBED Equation.DSMT4 ，根据线性回归模型，对于每一个 ，对应的随机误差项 ，我们希望总误差越小越好，即要使 越小越好．所以，只要求出使 取得最小值时的 ， 值作为 ， 的估计值，记为 ， ． 注：这里的 就是拟合直线上的点 到点 的距离． 用什么方法求 ， ？ 回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求 ， 的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到 ， 的计算公式为 ， 其中 ， 由此得到的直线 就称为这 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中 ， 分别为 ， 的估计值， 称为回归截距， 称为回归系数， 称为回归值． 在前面质点运动的线性回归方程 中， ， ． 3． 线性回归方程 中 ， 的意义是：以 为基数， 每增加1个单位， 相应地平均增加 个单位； 4． 化归思想（转化思想） 在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1） ，令 ， ，则有 ． （2） ，令 ， ， ，则有 ． （3） ，令 ， ， ，则有 ． （4） ，令 ， ， ，则有 ． （5） ，令 ， ，则有 ． 四．数学运用 1．例题： 例1．下表给出了我国从 年至 年人口数据资料，试根据表中数据估计我国 年的人口数． 年份 人口数/百万 解：为了简化数据，先将年份减去 ，并将所得值用 表示，对应人口数用 表示，得到下面的数据表： 作出 个点 构成的散点图， 由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型 来表示它们之间的关系． 根据公式（1）可得 这里的 分别为 的估 计值，因此线性回归方程 为 由于 年对应的 ,代入线性回归方程 可得 （百万），即 年的人口总数估计为13.23亿. 例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本 （万元）与人均产出 （万元）的数据： 人均 资本 /万元 人均 产出 /万元 （1）设 与 之间具有近似关系 （ 为常数），试根据表中数据估计 和 的值； （2）估计企业人均资本为 万元时的人均产出（精确到 ）． 分析：根据 ， 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对 的两边取对数，就能将其转化为