中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试文科数学试卷（一卷）及答案

第 1 页 共 8 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 3 月测试 文科数学试卷（一卷）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C A C B B C A C D A 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．4 14．2 15．4 16． 2 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．解： （1）由已知得 ( )214 += nn aS ① 2n∴ ≥ 时， ( )211 14 += −− nn aS ② ①-②得 1 2 1 2 224 −− −−+= nnnnn aaaaa ……….2 分 即( )( ) 0211 =−−+ −− nnnn aaaa , { }na 为正项数列， 1 0n na a −∴ + > ， 可得： ( )221 ≥=− − naa nn ，即{ }na 是以 2 为公差的等差数列……….4 分 由 1111 ,12 aSaS =+= ，得 11 =a ， 2 1na n∴ = − .……….6 分 （2） ( )( )      + − − = +− = ⋅ = + 32 1 12 1 2 1 3212 22 2 nnnnaa b nn n ……….9 分 第 2 页 共 8 页       + − − + + − − ++−+−+−= 32 1 12 1 12 1 32 1 ... 9 1 5 1 7 1 3 1 5 1 1 2 1 nnnn Bn 3 2 32 1 12 1 3 4 2 1 <      + − + −= nn ……….12 分 18．解： （1）证明：因为四棱锥 ABCDP − 的底面 ABCD 是直角梯形， BCAD // ， 90=∠=∠ DABABC , 222 === ADABBC , 2 2 2BD AB AD∴ = + = , 2=DC ……….2 分 可得： 222 BCCDBD =+ , BD DC∴ ⊥ ……….4 分 又因为平面 ⊥PCD 平面 ABCD ，且平面 PCD 平面 CDABCD = ， 又 ⊂BD 平面 ABCD , BD∴ ⊥ 平面 PCD ……….6 分 （2） 2PD PC= = ，取 CD 的中点 O ，连接 PO ， 则由（1）知 2=DC ，则△ PDC 为等边三角形， PO CD∴ ⊥ ， 又因为平面 ⊥PCD 平面 ABCD , ⊂PO 平面 PCD ，且平面 PCD 平面 CDABCD = ， PO∴ ⊥ 平面 BCD ……….8 分 2 6 2 3 2 =×=PO ……….9 分 ∴ 6 6 2 6 21 2 1 3 1 3 1 =××××=⋅== ∆−− POSVV ABCABCPACPB ……….12 分 19．解： （1）设 X 表示学生打电话所需的时间，用频率估计概率，得 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.4 0.25 0.1 0.05 A 表示事件“第四个学生恰好等待 5 分钟开始打电话”，则事件 A 对应两种情形： ①前三位同学打电话所花时间为 1 分钟，1 分钟，3 分钟（不计顺序）， ②前三位同学打电话所花时间为 1 分钟，2 分钟，2 分钟（不计顺序）， ∴ ( ) 126.0096.003.02.04.025.02.0 213213 =+=××+××= CCAP 所以估计第四个学生恰好等待 5 分钟开始打电话的概率为 0.126 ……….3 分 第 3 页 共 8 页 （2）Y 所有可能的取值为 0,1,2,3． Y＝0 对应第一个学生打电话所需的时间超过 3 分钟， ∴ ( ) ( ) ( )0 4 5 0.1 0.05 0.15P Y P X P X= = = + = = + = ……….5 分 Y＝1 对应三种情形： ①第一个学生打电话所需的时间为 1 分钟且第二个学生打电话所需的时间超过 2 分钟， ②第一个学生打电话所需的时间为 2 分钟且第二个学生打电话所需的时间超过 1 分钟， ③第一个学生打电话所需的时间为 3 分钟 ∴ ( ) ( ) ( ) 65.025.032.008.025.02.014.04.02.012.01 =++=+−×+−−×==YP ……….7 分 Y＝2 对应两种情