中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷及答案

第 1 页 共 8 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 3 月测试 理科数学试卷（一卷）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D D B B B C B A A A B 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分． 13． 1 3 i 5 5 − + 14． π 0, 3      , 5π , π 6      15． 2 21 7 16． ( ) ( )0,1 3,a ∈ +∞ 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．解： （1） 1 ( 2)n n na S S n−= − ≥ , 1n n nS a S −∴ − = ，则 ( )21 ( 1) 2nS n n− = − ≥ ， 即 2 *( )nS n n= ∈ N ……………3 分 ( )2 2( 1) 2 1 2na n n n n∴ = − − = − ≥ ……………5 分 经检验 1 1a = 适合， 2 1na n∴ = − ……………6 分 （2）易知 0nb > , 2 1 4 2 n nb n − = , ( ) 2 +1 +1 4 2 +1 n nb n = ， 4 2 4 1 4 2 2 ( 1) 1 n n b n n b n n +   ∴ = =   + +  ……………8 分 当 2 1 1 n n > + 时， 2 1n > + ， 第 2 页 共 8 页 所以当1 3n≤ < 时， 1n nb b +> ，当 3n ≥ 时， 1n nb b +< ……………10 分 又 2 3 1 32 , 2 81 b b= = ，所以当 3n = 时， nb 有最小值 32 81 ……………12 分 18．解： （1）证明：设平面 PAD 平面 PBC l= , //AD BC , BC ⊄平面 PAD , AD ⊂ 平面 PAD , //BC∴ 平面 PAD ， 又 BC ⊂ 平面 PBC , //BC l∴ ……………2 分 π 2 PBC∠ = , PB BC∴ ⊥ , PB l∴ ⊥ ……………4 分 又因为平面 PAD ⊥平面 PBC , PB∴ ⊥平面 PAD ，可得 PB PA⊥ ，得证． ……………6 分 （2）解：连结 BD ，在△ BCD 中，易得 3BD = , BD BC∴ ⊥ ， 又 PB BC⊥ , PBD∴∠ 为二面角 P BC A− − 的平面角……………8 分 以 D 为原点，分别以 ,DA DB   的方向为 x 轴， y 轴正方向，建立空间直角坐标系， (2, 0, 0)A∴ , (0, 3, 0)B , ( 1, 3, 0)C − ， , ,BC BD BC PD BD PD D⊥ ⊥ =  , BC∴ ⊥平面 PBD ， 所以平面 PBD ⊥平面 ABCD ……………9 分 可设 (0, , )P y z ．由 2PA PC= 可得： 2 2 2 2 2 2(0 2) 4(0 1) 4( 3) 4y z y z− + + = + + − + ， 化简可得： 2 23 8 3 3 12 0y y z− + + = …① 由（1）知 PB PA⊥ , ( 2, , ) (0, 3, ) 0y z y z∴ − ⋅ − = ，化简得 2 23 0y y z− + = …② 解方程①②可得 4 3 5 y = , 2 3 5 z = ……………11 分 2 5 sin 5 z PBD PB ∴ ∠ = = ，则 5 cos 5 PBD∠ = ……………12 分 19．解： （1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}， 第 3 页 共 8 页 {P∴ 没有抽到黑球} 4 7 1 4 0 1 6 35 210 C C = = = ……………1 分 {P 抽到一个黑球} 1 7 3 10 3 4 105 1 210 2 C C C = = = ……………2 分 所以甲至多抽到一个黑球的概率为： 1 1 2 6 2 3 + = ……………5 分 （2）解法一： 乙是有放回地抽取，抽到白球得 10 分，抽到黑球得 20 分， 所以抽取 4 次{4 个白球，3 个白球 1 个黑球，2 个白球 2 个黑球，1