专题16 数式规律与函数探索题型全解-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（河南专用）

专题16 数式规律与函数探索题型全解 【典例解析】 【题型一】数字规律 例1. （2021·河南二模）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ） A．84株 B．88株 C．92株 D．121株 【答案】B. 【解析】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4， 当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88， 故答案为：B． 【变式1】（2020·浙江嘉兴期末）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（　　） A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C. 【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2， 当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200， 所以最大的三角形数m=190，最大的正方形数n=196， 则m+n=386， 故答案为：C． 【题型二】图形规律 【例1】（2020·河南郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（　　） A．（2021，） B． C． D．（2021，0） 【答案】B. 【解析】解：设第n秒运动到Pn点， P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…， 则P4n＋1（，），P4n＋2（，0），P4n＋3（，﹣），P4n＋4（，0）， ∵2021＝4×505＋1， ∴P2021为（，）， 故答案为：B． 【变式1-1】（2020·河北模拟）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B. 【解析】解：点运动用时为=2秒． 过C作CD⊥AB于D，与交于点E． 易得CD=1，DE=1 第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0； 第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0； 第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…， 2019÷4=504…… 3 第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1． 故答案为：B． 【变式1-2】（2020·六安市模拟） 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）. A．（2014,0） B．（2015，-1） C．（2015,1） D．（2016,0） 【答案】B. 【解析】解：1秒时P点坐标是（1,1）；2秒时P点坐标是（2,0）；3秒时P点坐标是（3，-1）；4秒时P点坐标是（4,0）；5秒时P点坐标是（5,1）…,纵坐标规律为：1,0，-1,0…… 2015÷4=503…… 3，故P点纵坐标为-1，横坐标为2015 故答案为：B. 【例2】（2020·河南郑州三模）如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…以次类推，经过2020次翻滚后点对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】解：2020÷4=505，矩形的周长为：2×（1+2）=6， 经过2020次翻滚后点A对应点A2020的坐标为（6×505-1，2），即（3029，2）． 故答案为：C． 【变式2-1】（2020·河南郑州外国语模拟）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为(2， 4)，将绕点顺时针旋转，得到，若轴，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】解：过点B1作B1H⊥x轴于H． ∵A（-1，0），B（2，4）， ∴AB=5=AB1 ∵∠BAC=∠B1AC1=60°，AC1⊥OA， ∴∠OAB1=30°， ∴B1H=AB1=，AH=B1H=， ∴OH=， ∴B1． 故答案为：A． 【变式2-2】（2020·河南开封二模）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”