专题18 导函数中的零点问题-2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题18 导函数中的零点问题 利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着极其紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”，对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧。 一、单选题 1. 已知函数的图象与直线只有一个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意可得：， 令，得， 所以在和上单调递增， 在上单调递减， 大致图象如图所示， 直线恒过定点， 设曲线在点处的切线过点， 则有， 得， 所以，此时， 结合的图象可知，当时，曲线与直线只有一个交点． 故选C． 2. 已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根． ， 所以当时，，是增函数； 当时，，是减函数， 因此． 设，， 若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解． 设其解为满足， 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数． 因为任意的方程在有两个不同的根，所以： ； ， 所以，因为，所以， 代入，得． 设，， 所以在上是增函数，而，由， 可得，得． 由在上是增函数，得． 综上所述， 故选A． 3. 若函数的图象与直线有3 个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：函数的导数为： ， 令，解得或，此时递增； 令，解得，此时递减． 则时，取得极大值4， 时，取得极小值0， 作出的图象，如下图， 作出直线， 由图象可得当时，直线与的图象有3个交点． 故选B． 4. 设函数，则（ ） A. 有极大值且为最大值 B. 有极小值，但无最小值 C. 若方程恰有3个实根，则 D. 若方程恰有一个实根，则 【答案】C 【解析】解：，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，，， 再由，，可画出函数图象草图， 如图， 由图象可知，为函数的极大值但不是最大值，故A错误； 为函数的极小值，且为最小值，故B错误； 若要使有3个实根， 则要使函数的图象与函数的图象有3个交点， 则，故C正确； 若要使恰有一个实根， 则要使函数的图象与函数的图象仅有1个交点， 则或，故D错误． 故选C． 5. 对于函数，为自然对数的底数，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个不同零点 B. 在区间单调递增，在区间递减 C. 函数的极值点是 D. 【答案】D 【解析】解：选项A：由得：，所以函数只有一个零点0，故A错误； 选项B：由解得：，且所以函数在上单调递减，在单调递增，故B错误； 选项C：函数的极值点指的是函数的自变量的取值，不是一个点，故C错误； 选项D：函数在单调递增，所以因为，所以，即，故D正确． 故选D． 6. 已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设，则，，， 函数满足， ， ， 在区间内，函数有三个不同零点， 在区间上有三个解，即有三个解， 则与的图象有三个交点， 当，，则，令，解得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当处，函数在上取最大值， 当，，则，解得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当处，函数在上取最大值， 根据函数的单调性，以及，，，，， 画出函数的大致图象，根据图象可知与在上一个交点，在上两个交点， 在区间内，函数有三个不同零点， 则实数a的取值范围是． 故选B． 7. 设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（ ） A. 81 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】解：由题意得：，即有：． 令，由得：． 所以可知函数在，且时，如图所示： 由题意可知，方程必有两个根，且有． 因为，所以有． 由一元二次方程根与系数的关系得：． 所以 ． 故选A． 二、单空题 8. 已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为_____． 【答案】 【解析】解：设为图象上一点， 则由已知可得点在图象上， 所以， 即在上有解， 令，， 则， 当时，，在单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值也是最小值，， 又， 所以． 故答案为． 9. 已知在内有且仅有一个零点，当时，函数