专题17 高考常见经典函数分类详解-2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题17 高考常见经典函数解读 函数一 的应用 函数解读：该函数的定义域为R，值域为（）； ①当时，函数取得最大值为； ②该函数在定义域内始终过坐标原点；即定点（0，0）； ③当，；函数为递增函数，单调增区间为（，1）；当时，；单调减区间为（）。 ④， 【例1】已知函数有两个极值点、，三个零点、、. （1）求的取值范围； （2）若，证明：.（参考数据：，） 【解析】（1）函数的定义域为，. 设，由于函数有两个极值点、，即函数有两个异号零点. 而，由，可得， 构造函数，则，列表如下： 极小 所以，函数的极小值为，当时，，当时，. 作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点. ，则，由可得，令， 对任意的，，，列表如下： 极小 所以，函数的极小值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点， 综上所述，实数的取值是； （2）若是函数的一个零点，则，可得， 所以，，设，设，， 由（1）可知，，， ，令，可得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 则， 所以，. 函数在区间上单调递减， ，，所以，，所以，. 因为函数在区间上单调递增，， ， 所以，，则，. ，函数的两个极值点分别为、，且， 因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 且， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，， 在上单调递增，且， ，则，即， 又，所以，， ，所以，当时，， 因为函数在区间上为增函数，， ，则， 所以，， 所以，，所以，，因此，. 【例2】已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设是的两个零点，证明：． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1），， 即函数与直线在上有两个不同交点， ，故当时，；当，时，. 故在上单调递增，在上单调递减，所以. 又，故当时，；当时，. 画出图象，如图所示：可得. （2），由（1）知是的两个根， 故，故. 要证，只需证，即证， 即证，即证，即证. 不妨设，故 令， 则上单调递增，则，故式成立，即要证不等式得证. 【例3】已知函数. （1）当时，讨论极值点的个数； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点，且是唯一极值点；（2） 【解析】解：（1）由知. 当时，，，显然在上单调递减. 又，， ∴在上存在零点，且是唯一零点， 当时，； 当时，， ∴是的极大值点，且是唯一极值点. （2）令，则. 令，， 则和的图象在上有两个交点， . 令，则， 所以在上单调递减，而， 故当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故. 又，当且时，且， 结合图象，可知若和的图象在上有两个交点，只需， 所以的取值范围为. 【例4】已知函数. （1）当a=2，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）见解析；(2) 【解析】（1）当a=2时，，令，解得x=1. 列表： x 1 — 0 + 极小值 所以，当x=1时，有极小值，没有极大值 （2）①因为. 所以，. 当时，， 所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即为最小值. 1°当时，在上单调递减，在上单调递增， 只有一个零点，不合题意； 2°当时，，故，最多有两个零点. 注意到，令, 取，使得，下面先证明； 设，令，解得. 列表 x — 0 + 极小值 一、单选题 1．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数.现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（ ） A．22 B．24.5 C．25 D．27 【答案】D 【解析】依题意，， 故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 故选：D 2．函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， 因为，，则. 因此，函数的零点所在区间为. 故选：B. 3．已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 当时，，则为增函数， 当时，，则为减函数， 所以的极大值为， 设，则关于x的方程可化为， 设关于t的方程有两个实数根， 则关于的方程恰好有4个不相等的实根等