专题13 考点2二次函数-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（四川专用）

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘 专题13函数问题-考点2二次函数 ★题型一：函数的图像与性质 【例1】（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是 　； （2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是 　． 【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可． （2）由题意，构建不等式即可解决问题． 【解答】解：（1）当﹣1＜[x]≤2时，[x]表示不大于x的最大整数，∴[x]＝0、1或2， ∴0≤x＜3．故答案为：0≤x＜3． （2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上， 当﹣1≤x＜0时，则有[x]＝﹣1时，函数分别为：y1＝x2+2a+3，y1＝2， 由题意，2a+3≥2，∴a， 当0≤x＜1时，则有[x]＝0，y1＝x2﹣2a[x]+3＝x2+3，而y2＝[x]+3＝3，y1≥y2，此时y1的图象在y2的图象上方或图象上． 当1≤x＜2时，则有[x]＝1，y1＝x2﹣2a+3，y2＝4，由题意，1﹣2a+3≥4解得a≤0， 综上所述，a≤0时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上， 故答案为a≤0． 【变式1-1】（2021•武侯区模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b＝﹣2a；④a+b+c＝0，其中正确结论的序号是　 　． 【分析】①由抛物线与x轴的交点在y轴正半轴可得出c＞0，①正确；②由抛物线与x轴有两个不相同的交点可得出b2﹣4ac＞0，②正确；③由抛物线的对称轴为x＝﹣1可得出b＝2a，③错误；④由抛物线的对称轴结合点A的坐标即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0），进而可得出a+b+c＝0，④正确．综上即可得出结论． 【解答】解：①∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，①正确； ②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴1，∴b＝2a，③错误； ④∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且点A的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（1，0），∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，④正确．综上所述：正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④． 【变式1-2】（2021•浙江二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为　 　． 【分析】根据题意得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF＝FG，进而求出即可． 【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，∴顶点坐标为：（0，4），B（2，0）， 设抛物线解析式为：y＝ax2+4，将B点代入得，0＝4a+4，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4 设G点坐标为：（m，﹣m2+4），则2m＝﹣m2+4， 整理的：m2+2m﹣4＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣1（不合题意舍去）， ∴正方形EFGH的边长FG＝2m＝22．故答案为：22． 【变式1-3】（2021•宁波模拟）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，点B的坐标为（2，0），若抛物线yx2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　 　． 【分析】根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x， 联立消掉y得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0， 即k时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1， ∵点B的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上； 当抛物线经过点B（2，0）时，4+k＝0，解得k＝﹣2， ∴要使抛物线yx2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k．故答案为：﹣2＜k 【变式1-4】（2021•南充模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口