高中必修1-5错误解题分析系列《第二章　函数概念与基本初等函数》（打包5份）

§2.5　函数的综合运用 一、知识导学 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑. 4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的. 二、疑难知识导析 1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生 ⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力. ⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养. ⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力. ⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题. 2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题. 三、经典例题导讲 [例1] 不等式 错解： 错因： 当 时，真数 且 在所求的范围内（因 ），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性. 正解 [例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润. 错解：设每件售价提高x元，利润为y元， 则y= EMBED Equation.3 ∴ =1时， （元） 错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为（0－20 ）元 正解：设每件售价提高x元，利润为y元，则y= = 故当 ，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元. [例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？ 错解：设第一年三月份的产值为a，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)11,则所求增长率为 ，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)13. 错因：对增长率问题的公式 未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错误.若某月的产值是a，则此后第 月的产值为 ，指数 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数. 正解：设第一年三月份的产值为a，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)2， 从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是 a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值的增长率为 [例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长 （单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为 （单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？ (车流量= ) 错解： ，将 ， 代入得 ，∴ ，又将 代入得 ， 由题意得 （ ） 将Q= = （ ） ∵ ∴当且仅当 时， 综上所知， （km/h）时，车流量Q取得最大值. 错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求 ，但在行驶过程中车速有可能低于25 （km/h），所以解题材中应分两类