高中必修1-5错误解题分析系列《第四章 数列》（打包3份）

第四章 数列 §4.3数列的综合应用 一、知识导学 1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q. 二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式 解决； 2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; 4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈ ）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq； 5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列； 6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列； 7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈ ）； 8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式: (n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； 三、经典例题导讲 [例1]设 是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明： 。 错解：欲证 只需证 ＞2 即证： ＞ 由对数函数的单调性，只需证 ＜ － ＝ ＝－ ＜ 原不等式成立. 错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况. 正解：欲证 只需证 ＞2 即证： ＞ 由对数函数的单调性，只需证 ＜ 由已知数列 是由正数组成的等比数列， >0, . 若 , 则 － ＝ ＝－ ＜0； 若 , － ＝ ＝－ ＜ 原不等式成立. [例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米） 错解：因球　每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为 的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和. 即 ＝199（米） 错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况. 正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了 ＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为 ＝ EMBED Equation.3 300（米） 答：共经过300米。 [例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？ 错解： 年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18. 错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元. 正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18， 1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17， 2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16， …… 17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1， a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1 ＝ ＝ 答：取出的钱的总数为 。 [例4]求数列 的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当 时， 当 时， [例5]求数列 前n项和 解：设数列的通项为bn，则 [例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ， 求数列{an}的前n项和 解：取n =1，则 又由 可得： [例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时