高中必修1-5错误解题分析系列《第七章 平面解析几何初步》（打包5份）

§7.2圆锥曲线 一、知识导学　 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．椭圆的标准方程： ， （ ） 3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 内常数 ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 4．椭圆的准线方程 对于 ，左准线 ；右准线 对于 ，下准线 ；上准线 5.焦点到准线的距离 （焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的参数方程 7．双曲线的定义：平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 8．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , )； 焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , ) (2) 有关系式 成立，且 其中 与b的大小关系:可以为 9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 、 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 项的系数是正的，那么焦点在 轴上； 项的系数是正的，那么焦点在 轴上 10．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 由标准方程 ，从横的方向来看，直线x=- ,x= 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点 顶点： ，特殊点： 实轴： 长为2 , 叫做半实轴长 虚轴： 长为2b，b叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线 过双曲线 的渐近线 （ ） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系： ，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 11． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率． 12．双曲线的准线方程： 对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线 ，相对于右焦点 对应着右准线 ； 焦点到准线的距离 （也叫焦参数） 对于 来说，相对于上焦点 对应着上准线 ；相对于下焦点 对应着下准线 抛物线 图形 方程 焦点 准线 13 抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线 二、疑难知识导析　 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 EMBED Equation.3 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成 3．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 4．抛物线的几何性质 （1）范围 因为p＞0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． 19抛物线的焦半径公式： 抛物线 ， 抛物线 ， 抛物线 ， 抛物线 ， 三、经典例题导讲　 [例1]设双曲线的渐近线为： ，求其离心率. 错解：由双曲线的渐近线为： ，可得： ，从