高中必修1-5错误解题分析系列《第十章 导数及其应用》（打包3份）

§10.1导数及其运算 一、知识导学 1.瞬时变化率：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变 ，如果当 趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数 在点 的瞬时变化率。 2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数c。可用符号“ ”记作：当 时， EMBED Equation.3 或记作 ，符号“ ”读作“趋近于”。函数在 的瞬时变化率，通常称作 在 处的导数，并记作 。 3.导函数：如果 在开区间 内每一点 都是可导的，则称 在区间 可导。这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数。记为 或 （或 ）。 4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。 2）函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3）函数的商的求导法则：设 ， 是可导的， ，则 5.复合函数的导数:设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数 ,则复合函数 EMBED Equation.3 在点 处有导数,且 . 6.几种常见函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点 （1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如 实际上应是 。 (3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 选成 ， 计算起来就复杂了。 3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。 4. 表示 处的导数，即 是函数在某一点的导数； 表示函数 在某给定区间 内的导函数，此时 是在 上 的函数，即 是在 内任一点的导数。 5.导数与连续的关系 若函数 在 处可导，则此函数在点 处连续，但逆命题不成立，即函数 在点 处连续，未必在 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 在 处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因 此，曲线 在点 处的切线方程可如下求得： （1）求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ，如果曲线 在点 的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 . 三、经典例题导讲 [例1]已知 ,则 . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为: . 正解：设 , ,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . [例2]已知函数 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解： 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 　　　 　　　∴ f(x)在x=1处不可导. 注： ，指 逐渐减小趋近于0； ，指 逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求 在点 和 处的切线方程。 错因：直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值； 点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解： 即过点 的切线的斜率为4，故切线为： ． 设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ， 故 ， 。 即切线 的斜率为4或12，从而过点 的切线为： 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例4]求证：函数 图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出