高中必修1-5错误解题分析系列《第十一章 数系的扩充与复数》（打包2份）

§11.1 数系的扩充与复数的概念 一、知识导学 1. 复数：形如 的数（ EMBED Equation.3 ），复数通常有小写字母 表示，即 ,其中 叫做复数的实部、 叫做复数的虚部， 称做虚数单位. 2. 分类：复数 ( EMBED Equation.3 )中，当 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b 时， 叫做虚数；当 ,b 时，叫做纯虚数. 3. 复数集：全体复数所构成的集合. 4. 复数相等：如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，记作： = . 5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. 6. 复数的模：设 = ,则向量 的长度叫做复数 的模（或绝对值），记作 . (1) ； (2) = ； (3) ； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数. 二、疑难知识导析 1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小 2． 则 ，而 ，则 不一定成立，如 时 ； 3． ，而 则 不一定成立； 4．若 EMBED Equation.3 不一定能推出 ； 5．若 ，则 = ，但若 则上式不一定成立. 三、经典例题导讲 [例1]两个共扼复数的差是（ ） .实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到 时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件. 正解：设互为共扼的两复数分别为 及 则 或 当 时， ， 为纯虚数 当 时， ， ，因此应选D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. [例2]判断下列命题是否正确 (1)若 , 则 (2)若 且 ，则 (3)若 ，则 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正 确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复 数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的 前提条件. 正解：(1)错，反例设 则 (2)错，反例设 ， ，满足 ，但 EMBED Equation.3 不能比较大小. (3)错， ， ，故 ， 都是虚数，不能比较大小. [例3]实数 分别取什么值时，复数 是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部 ，虚部 . （1）当 时， 是实数； （2）当 ，且 时， 是虚数； （3） 当 或 时是纯虚数． [例4] 设 ，当 取何值时， (1) ; (2) . 分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值． 解：(1)由可得： 解之得 ， 　　即：当 时 　　(2)当 可得： 　　 或 ，即 时 . [例5] 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且 ，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数． 分析  本题起步的关键在于对条件 的处理．等式左边是关于 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方． 解：由 （，不为零）， 得 　　　　　　　 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 　　　　即向量 与向量 的夹角为 ， 　　　　在图中， ，又 ，设 ， 　　　　在△OPQ中，由余弦定理 △OPQ为直角三角形， ． 四、典型习题导练 1. 设复数z满足关系 ，那么z等于（   ）． 　　A．  B．  C．  D． 2.复数系方程 有实数根，则这个实数是 . 3. 实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限． 4.已知 且 求复数 5.设复数 满足 且 在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上， 求 的值 $$　 §11.2 复数的运算 一、知识导学 1.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义 复数 是以 、 为两邻边的平行四边形对角线 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 是连接向量 、 的终点，并指向被减数的向量 所对应的复数. 2. 重要结论 （1） 对复数z 、 、 和自然数m、n，有 ， ， (2) ， ， ， ； ， ， ， . (3) ， EMBED Equation.3 ， . (4)设 ， ， ，